13. Метод замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

14. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования: Или: В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где   — многочлен  -ой степени.

15. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь  , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где   — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

16. Разложение правильной дроби на простейшие

Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными) дробями:

I. 

II. 

III. 

IV. 

При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен   в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т.е.  ).

Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов. А именно: если знаменатель данной правильной дроби   разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители

где   - натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших:

Коэффициенты   в разложении находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений.

17. Интегрирование рациональных дробей

 Рациональной дробью называется дробь вида  , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.      Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов)  неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например,  .      Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида  , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом: