10. Определение первообразной. Теорема о множестве всех первообразных

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. (F(x))' = f(x).

Теорема 1 (теорема Коши). Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Пример. Функция F(x)=x³ является первообразной функции f(x)=3x² так как (x³)'=3x². Функции F₁(x)=x³ +3 и F₂(x)=x³ - 2  также являются первообразными функции f(x).  Любая функция вида F(x)=x³ +с, где с – произвольное число, является первообразной функции f(x).

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Верно и обратное утверждение.

Теорема 2. Если F₁(x) и F₂(x) - две первообразные для функции f(x), то они отличаются на постоянное слагаемое.

Доказательство. Рассмотрим функцию        

                       Ф(х) = F₁(x) - F₂(x).

                       Ф'(х) = F₁'(x) - F₂'(x) = f(x) - f(x) =0,

                       Ф(х) = C,

                       F₁(x) = F₂(x) +C.

Совокупность всех  первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается  ò f(x)dx, где f(x)именуется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением. Функция имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Графики всех первообразных представляют собой бесконечное семейство параллельных кривых, которые заполняют всю плоскость. Через каждую точку плоскости проходит график одной из первообразных.

11. Неопределенный интеграл и его свойства

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С - произвольная постоянная. 

Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

12. Метод непосредственного интегрирования

Непосредственное интегрирование базируется на использовании свойств неопределенных интегралов  ,  , правила интегрирования   и таблицы первообразных.

Обычно, подынтегральное выражение сначала требуется слегка преобразовать, чтобы можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.