45. Числовые ряды . Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости

. Числовым рядом называется выражение  А    .

Наряду с {a_n}, рассмотрим последовательность частичных сумм  {A_n} :

А₁ = а₁; А₂ = а₁+а₂ = А₁+а₂; А₃ = а₁+а₂+а₃ = А₂+а₃; …; 

А_n − n^я  частичная сумма ряда  А .

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм; Предел этой последовательности называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся.

Примеры. 1) a_n= q^n-1 : A =1+q+q²+q³+…  − сумма геометрической прогрессии. A_n= (1-qⁿ )/(1-q)

ряд сходится при |q| < 1, и  A=1/(1−q) −

его сумма. Если    −  ряд расходится. 

Теорема. Если ряд  А сходится , то a_n →0 при n →∞  .

{ Пусть ряд  А  сходится и его сумма равна А. Рассмотрим a_n = A_n – A_n-1 и перейдем к пределу при

n→∞. Имеем:  }

Пример. Рассмотрим ряд 

Замечание. Стремление n-го члена ряда к нулю не является достаточным условием сходимости.

(скорость стремления к нулю должна быть достаточно большой) Пример – гармонический ряд

46. Гармоничный ряд. Ряд арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия - числовая последовательность   определяемая условиями: 1)   2)   (d - разность арифметической прогрессии).

     Свойства арифметической прогрессии:

     Формула n-го члена: 

     Формулы суммы n первых членов:

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

47. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

   Пусть дан ряд   все слагаемые которого положительны  .

         Признак Коши. Пусть существует  . Тогда

если  , то ряд   сходится;

если  , то ряд   расходится;

если  , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

         Признак Даламбера. Пусть существует  . Тогда

если  , то ряд   сходится;

если  , то ряд   расходится;

если  , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.

Теорема 1. Последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает.

Доказательство. Пусть дан положительный числовой ряд

 , где    . (А)

Рассматривается n-ная частичная сумма

, тогда

,

48. Ряды с членами произвольного знака. Признаки сходимости

Ряд называется знакочередующимся, если его члены являются (поочередно) положительными и отрицательными. Это ряд можно записать в виде

              (– 1)^{n – 1} c_n = c₁ – c₂ + c₃ – c₄ + … + (– 1)^{n – 1} c_n + …,     (2)

где c_n > 0 для любого n (если первый член ряда отрицательный, то исследуют –   (– 1)^{n – 1} c_n).

   Признак Лейбница. Если для членов ряда (2)

            c_n ≥ c_n + 1 (n = k, k + 1, …) и   c_n = 0,

то ряд сходится.

   Остаток у знакочередующихся рядов можно легко оценить. Если ряд   (– 1)^{n – 1} c_n сходится и имеет сумму S, то остаток R_n = S –   (– 1)^{n – 1} c_sимеет знак (– 1)^{n – 1} и | R_n | ≤ c_n + 1. 

   Другие признаки сходимости.

   Признак Абеля. Если ряд   b_n сходится, а последовательность {a_n} (n = 1, 2, …) монотонна и ограничена, то ряд   a_n b_n сходится.

   Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда   b_n ограниченны, | S_n | < M, а последовательность {a_n} монотонна и   a_n = 0, то ряд   a_n b_nсходится.

   Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле.