41 Однородные дифференциальные уравнения

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнения Обыкновенное уравнение первого порядка   называется однородным относительно x и y, если функция   является однородной степени 0: . Однородную функцию можно представить как функцию от  : . Используем подстановку  , а затем воспользуемся правилом произведения :  . Тогда, дифференциальное уравнение  сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение   — однородно, если  .

В случае, если  , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных диф. уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

42 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с правой частью

 Уравнение

             (9.1)   называется линейным дифференциальным уравнением  n-го порядка с постоянными коэффициентами;    - постоянные вещественные числа.  Если  функция  )  не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что  уравнение с правой частью

43. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка

линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

44. Дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью

Найдём общее решение дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью

y″ − 2·y′ + y = eˣ/√(9 − x²)

Это дифференциальное уравнение может быть решено методом вариации произвольной постоянной. Но существует и другой, более простой, способ. Разберём оба способа решения. Характеристическое уравнение   k² − 2·k + 1 = (k − 1)² = 0   имеет двухкратный действительный корень   k₁ = k₂ = 1, откуда одно из общих решений соответствующего однородного дифференциального уравнения (с точностью до постоянной интерирования)   y₀ = eˣ. Домножим обе части исходного дифференциального уравнения на   e⁻ˣ: (y″ − 2·y′ + y)·e⁻ˣ = 1/√(9 − x²) В левой части последнего уравнения — вторая производная произведения   y·e⁻ˣ. Покажем это, применив формулу Лейбница: (y·e⁻ˣ)″ = y″·e⁻ˣ + 2·y′·(e⁻ˣ)′ + y·(e⁻ˣ)″ = (y″ − 2·y′ + y)·e⁻ˣ Таким образом, дифференциальное уравнение перепишется в виде: (y·e⁻ˣ)″ = 1/√(9 − x²) Проинтегрируем дважды. (y·e⁻ˣ)′ = ∫dx/√(9 − x²) = ∫d(ˣ⁄₃)/√(1 − (ˣ⁄₃)²) = arcsin(ˣ⁄₃) + C₁ y·e⁻ˣ = ∫(arcsin(ˣ⁄₃) + C₁)·dx = [интегрирование по частям] = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x − − ∫x·d(arcsin(ˣ⁄₃)) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x − ∫x·dx/√(9 − x²) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x + + ½ ∫d(9 − x²)/√(9 − x²) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂ Домножая на   eˣ, получим общее решение дифференциального уравнения: y = (x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂)·eˣ