39. Неполные дифференциальные уравнения и методы их решения.

Дифференциальное уравнение первого порядка   называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:   или  , или  .

Отсюда  .

Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).

Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид  , т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.

Дифференциальное уравнение принимает вид 

, т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение   - это дифференциальное уравнение второго типа. Запишем его в виде  , откуда  - есть искомое решение .

40 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

 или  .

Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.

В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем  .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f₂(y) ⋅ g₁(x). То есть, получим  . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f₂(y) ≠ 0 и g₁(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.

Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются  .

Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Дифференциальные уравнения   приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение   с помощью подстановки z = 2x+3y преобретает вид  .

ОДУ   или   преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен   или  . Например, дифференциальное уравнение   после замены   принимает вид  .

Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x² или y² числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения  , чтобы оно соответствовало случаям   или   соответственно.

Дифференциальные уравнения   преобразуются к только что рассмотренным ОДУ   или  , если ввести новые переменные  , где   - решение системы линейных уравнений   и провести некоторые преобразования.

Например, дифференциальное уравнение   после введения новых переменных   преобразуется к виду  . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем  . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными  .

В разделе дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиподробно разобрана теория и приведены подробные решения аналогичных примеров.