37. Тригонометрические и показательные формы комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа Каждому комплексному числу   геометрически соответствует точка   на плоскости  . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат  , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат   в полярной системе (рис. 1.3,a).

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число , у которого , а , через , то есть , то из (1.3) получимпоказательную форму записи комплексного числа:

Равенство   называется формулой Эйлера. Заметим, что геометрически задание комплексного числа   равносильно заданию вектора  , длина которого равна  , то есть  , а направление — под углом   к оси   (рис. 1.3,б).

38. Понятие о дифференциальных уровнениях. Виды решения. Теорема Коши Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные   до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Теорма коши - - теорема об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, взятого вдоль замкнутого контура. Точнее, пусть ф-ция f(t) аналитична в области D, а   - кусочно-гладкий контур, лежащий в D и не содержащий внутри себя особенностей ф-ции f(z). Тогда, согласно К. т., контурный интеграл   равен нулю. Доказана О. Коши в 1825. Геометрически К. т. означает, что векторное поле, компонентами к-рого являются соответственно веществ. и мнимая части аналитич. ф-ции, потенциально и соленоидально, т. е. его дивергенция и ротор равны нулю. Справедливо и обратное утверждение (теорема Мореры): если ф-ция f(z) непрерывна в односвязной области D и такова, что для любого кусочно-гладкого замкнутого контура  , лежащего в D, то f(z) аналитична в D. К. т. играет важную роль в теории аналитич. ф-ций. На ней основано представление аналитич. ф-ции в виде Коши интеграла, она используется в теории вычетов и т. д.