Лабораторно-практическое занятие №7. Умножение матриц. Вычисление обратной матрицы. Решение уравнений и систем линейных уравнений
Задание: научиться использовать программу Excel для решения задач линейной алгебры (вычисление определителей матрицы, умножение матриц, вычисление обратной матрицы, решение систем линейных уравнений), а также находить корни нелинейных уравнений.
Результат: пользователь сможет с помощью программы Excel находить корни уравнений и решать системы линейных уравнений, вычислять определители матрицы и использовать матричное исчисление для решения экономических задач.
Решение:
1. Загрузите программу Exсel. Переименуйте лист 1 (новое название листа - Матрицы).
2. Для решения задач, связанных с необходимостью умножения матриц, вычисления обратных матриц, вычисления определителей матрицы, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений в программе Excel предусмотрены соответствующие функции, расположенные в Мастере функций. Любая матрица представляет собой массив данных, представляемый в виде таблицы размера m x n с числовыми данными. Познакомимся с предоставляемыми возможностями программы Excel на примере решения следующих задач:
1) Даны две матрицы A и В:
Необходимо:
a) вычислить определители матриц А и В;
б) найти матрицу, обратную к матрице А;
в) вычислить произведение матриц А и В.
г) осуществить проверку умножением прямой и обратной матриц, в результате должна получиться единичная матрица;
2) Решить систему линейных уравнений:
2.1. Для решения первой задачи в окне электронной таблицы введем элементы матриц А и В. В ячейке В1 введем заголовок - Матрица А, сами элементы матрицы расположим в ячейках А2:D5, каждое число - элемент матрицы вводится в отдельную ячейку. Соответственно в ячейке F1 введем заголовок - Матрица В, расположив ниже в ячейках F2:I5 элементы этой матрицы.
В ячейках А7 и F7 наберите заголовки: Определитель А= и Определитель В=.
Функция, используемая для вычисления определителя, имеет имя МОПРЕД, в качестве ее аргумента используется блок ячеек с элементами матрицы. В ячейку А8 введите формулу: МОПРЕД(А2:D5) и нажмите клавишу ввода Enter. В результате вы получите вычисленное значение определителя матрицы А. Аналогично в ячейке F8 вычисляется определитель матрицы В. Для ввода формулы можно использовать клавиатуру или Мастер функций.
2.2. Для вычисления матрицы А-1, обратной к матрице А, используется функция МОБР, аргументом которой является массив данных исходной матрицы А. Обратная матрица будет существовать, если определитель матрицы А # 0. В ячейку А10 введите заголовок: Обратная матрица. Поставьте курсор на ячейку А11 и выделите блок ячеек А11:D14. Войдите в Мастер функций и найдите функцию МОБР, в окне функции введите ее аргумент - А2:D5, нажмите кнопку Закончить (вы увидите набранную формулу в ячейке А11) и завершите ввод, нажав клавиши Shift+Ctrl+Enter. В результате в ячейках А11:D14 вы получите элементы обратной матрицы.
2.3. Для умножения матриц А и В используется функция МУМНОЖ, аргументами которой являются элементы этих матриц. При умножении двух матриц необходимо помнить, что число колонок 1-й матрицы должно равняться числу строк второй, т.е. если 1-я матрица имеет размер mxn, а 2-я матрица nxk, то в результате получится матрица размера mxk.
Введите в ячейку А16 заголовок - Результирующая матрица. Так как у нас матрицы А и В имеют размер 4х4, то в результате также будет матрица размера 4х4. Поставьте курсор в ячейку А17 и мышью выделите блок ячеек A17:D20. Вызовите Мастер функций и выберите функцию МУМНОЖ. В окне функции введите ее аргументы - блоки ячеек А2:D5 и F2:I5 и нажмите кнопку . В ячейке А17 вы увидите вводимую функцию. Для завершения ее ввода в блок ячеек нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter. В результате в ячейках вы получите элементы результирующей матрицы- произведения матриц А и В.
2.4. Проверьте правильность вычисления обратной матрицы А-1 умножением на нее исходной матрицы А, в результате должна получиться единичная матрица Е.
В ячейках, где представлены результаты, задайте числовой формат - два десятичных знака после запятой.
2.5. Для решения системы линейных уравнений откройте новый рабочий лист, присвойте ему имя Система уравнений.
Система линейных уравнений в матричной форме имеет вид: АХ=В, где А - матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в уравнениях, Х - вектор из неизвестных, В - вектор, составленный из правых частей уравнений. Решение системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид: Х=А-1•В, т.е. для нахождения решения системы Х необходимо:
а) найти матрицу, обратную к исходной матрице А;
б) умножить получившуюся обратную матрицу на вектор свободных членов уравнений В.
Подготовьте на листе необходимые заголовки для решения системы: Исходная матрица, Правая часть системы уравнений, Обратная матрица, Решение.
Введите в соответствующие ячейки ниже заголовков матрицу из коэффициентов при неизвестных в уравнениях и правые части системы уравнений.
С помощью функции вычисления обратной матрицы вычислите обратную матрицу и поместите ее в соответствующей части рабочего листа.
С помощью функции умножения матриц умножьте обратную матрицу на вектор свободных членов и результат поместите в соответствующей части рабочего листа.
Проверьте полученное решение системы линейных уравнений. Для этого надо умножить исходную матрицу на полученное решение. В результате должен получиться вектор свободных членов.
Согласно номеру своего варианта выполните задание и продемонстрируйте его преподавателю.
3. Сохранить полученные результаты на гибком диске в каталоге Excel под именем Excel-3.xls.