67. Вынуждение механические колебания.

Вынуждение механические колебания- незатухаю щие колебания, возникающие под действием вне шней, периодически изменяющейся силы. В этом случае колебания пружинного маятника будут описываться следующим уравнением: d²x/dt²+ 2β(dx/dy)+ω²x=(F_o/m)cosωt. F_o- некоторое амплитуд ное значение силы. Решение: x=Acos(ωt-φ); A=(F_o/ m)/(ω_o²-ω²)+4β²ω²; φ=arctg2βω/ω_o²-ω². Резонансн ая частота- частота, при которой амплитуда смещ ения достигает максимума. Чтобы найти её, необ ходимо продифференцировать уравнение и воз вести в квадрат. –4(ω_o²-ω²)ω+8β²ω=0; ω_рез.=ω_o²-2β². Механический резонанс- явление резонансного возрастания амплитуды вынуждающих колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной собственной частоте колеблющей ся системы. С ростом затухания, акмплитуда в точ ке резонанса уменьшается. При ω0, все резонан сные кривые достигают одного значения: F_o/mω_o²- статического отклонения.

колеблю щегося процесса и энергии. Поэтому основным свойством всех волн, не зависимо от их приро

68. Продольные и поперечные волны, длина волны, график поперечной волны, распространяющейся со скоростью V вдоль оси х, волновой фронт, волновая поверхность.

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды, распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Чем дальше распространена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Волна – это процесс распространения колеба ний в сплошной среде. Сплошная среда – это среда, равномерно распространяющаяся в пространстве, обладающая упругим свойством. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около положения равновесия от частицы к частице среды передается лишь состояние ды, является перенос энергии без переноса вещества. Упругие волны – это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Волны бывают продольные и поперечные. Продольные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Поперечные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распростране ния волны. Продольные волны существуют там, где существуют деформации сжатия и растяже ния. Т.к. эти деформации существуют во всех трех средах, то продольные волны могут распро страняться в твердой, жидкой и газообразной средах. За существование поперечных волн отвечают деформации сдвига. Поэтому попере чные волны существуют в твердых телах и на по верхности жидкости. Внутри жидкости и газа попе речные волны не распространяются. Упругая вол на называется гармонической, если соответств ующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Длина волны – это расстояние между двумя ближайшими частицами, колеб лющимися в одной фазе. Это расстояние, на которое распространяется фаза за время равное периоду: λ = υТ; νλ = υ. График гармо нической поперечной волны, распространяющей ся со скоростью υ вдоль оси Х – это зависимость между смещением ζ частиц среды и расстоя нием Х этих частиц от колебания в точке О в как ой-то фиксированный момент времени. Хотя приведенный график ζ (х, t) похож на график гармонических колебаний, но они различны по существу. Если график волны определяет зави симость всех частиц среды до источника коле баний в данный момент времени, то график колебаний – зависимость смещения частиц в данный момент времени. Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Волновая повер хность – это геометрическое место частицы сре ды, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновой фронт является волновой поверхностью.

+φ₀ = const. ζ (х, t) = A/r cos (ωt – kx + φ₀), где r – рас стояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

69. Волновое уравнение, групповая скорость, связь групповой и фазовой скоростей.

Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде. ∂²ζ / ∂х² + ∂²ζ / ∂у² + ∂²ζ / ∂z² = (1/ υ²)*( ∂²ζ / ∂t²). Решением волнового уравнения является решение любой волны. ∂²ζ / ∂х² = (1/ υ²)*( ∂²ζ / ∂t²); ∆ζ = (1/ υ²)*( ∂²ζ / ∂t²) – волновое уравнение, запи санное с помощью оператора Лапласа. Прин цип суперпозиции волн. При распределении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют. Результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометри ческой сумме смещений, которую получают час тицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Волновой пакет – это совокупность волн, мало отличающихся друг от друга по час тоте, занимающие в данный момент времени некую ограниченную область пространства. Скорость движения центра волнового пакета есть групповая скорость. Групповая скорость опреде ляется как U = dω / dk. Связь групповой и фазовой скоростей. Т.к. ω = υk, то U = dω / dk = d(υk) / dk = υ + k*(dυ /dk) = υ + k*((dυ / dλ) : (dk / dλ)) = υ + k*[dυ / dλ : d(2π / λ)/ dλ] = υ – λ*(dυ / dλ). В неди спергирующей среде (скорость волны не зави сит от частоты) групповая скорость равна фаз овой скорости υ = U.

70. Стоячие волны, пучность, узлы, различие между стоячей и бегущей волнами.

Стоячие волны – это волны, которые образуются при наложении двух бегущих волн, распростра няющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Уравнение стоячей волны: ζ₁ = Acos (ωt + kx); ζ₂ = Acos (ωt + kx); ζ = ζ₁ + ζ₂ = 2Acos(kx)*cos(ωt) – уравнение стоячей волны, k = 2π / λ – волновое число. Если 2Acos(kx) опи сывает амплитуду и 2πx / λ = ±mπ, то cos (kx) = 1 и амплитуда будет максимальна А = 2А; x = ±mπ / 2 – координаты пучностей. 2πx / λ = ± (m +½)π; x = ± (m + ½)*λ/2 – координаты узлов. Расстояние от пучности до узла равно λ/4, а расстояние от узла до узла или от пучности до пучности равно λ/2. Отличия стоячей волны от бегущей: 1) у бегущей волны фаза меняется, а у стоячей – фазы между соседними узлами одинаковы; 2) амплитуда бегущей волны постоянна, амплитуда стоячей волны зависит от координаты; 3) бегущая волна переносит энергию, стоячая – нет. Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. При отражении бегущей волны от границы может наблюдаться пучность или узел колебаний. Будет на границе узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред: 1) если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения образуется пучность; 2) если среда более плотная, образуется узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную, и на границе происходит сложение двух колебаний противоположного направления и противоположных фаз, в результате получается узел. Если волна отража ется от менее плотной среды, то изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами, получается пучность.