1.3. Частотные критерии устойчивости

П р и н ц и п а р г у м е н т а. В основе частотных критериев устойчивости лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Пусть дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами:

,

1.25

Многочлен А(р) можно представить в виде:

,

1.26

где p_i — корни уравнения А(р) = 0.

Положим , тогда:

,

1.27

Рассмотрим геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости р. Начало вектора, изображающего это комплексное число, лежит в точке p_i, а конец — на мнимой оси в точке (рис. 1.1)

Рис. 1.1

Найдем аргумент комплексного числа:

,

1.28

При изменении аргумента A (jω) с из­менением ω в пределах от —∞ до +∞:

,

1.29

Согласно (1.29), для подсчета изменения аргумента необхо­димо подсчитать сумму изменений аргументов выражений вида . Это изменение аргумента зависит от того, в ка­кой (правой или в левей) полуплоскости лежит корень p_i. Рассмотрим эти два случая.

Корень p_i, лежит в левой полуплоскости (рис. 1.2,а). При изменении ω в пределах от — ∞ до + ∞ конец вектора скользит вдоль мнимой оси снизу вверх, поворачи­ваясь против часовой стрелки на 180°, и, следовательно, изме­нение аргумента при этом:

,

1.30

Корень p_i, лежит в правой полуплоскости (рис. 1.2,6). В этом случае, рассуждая аналогично, получим:

,

1.31

Допустим, что уравнение А(р) = 0 имеет m корней в пра­вой полуплоскости и l корней в левой полуплоскости. При этом l + m = n.

Рис. 1.2

Тогда, на ос­новании (1.27), (1.30) и (1.31):

,

1.32

Уравнение (7.32) представляет собой выражение принципа ар­гумента, который формулиру­ется следующим образом, Из­менение аргумента A (jω) при изменении ω от — ∞ до + ∞ равно разности ме­жду числом корней l (урав­нения А (р) = 0), лежащих в левой полуплоскости, и числом корней т, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на π.

К р и т е р и й М и х а й л о в а. Критерий устойчивости

А. В. Михайлова, сформулированный им в 1938 г., является по существу геометрической интерпретацией прин­ципа аргумента. Пусть дано характеристическое уравнение системы (1.8):

,

1.33

Полином А(р) в этом случае называется характеристи­ческим полиномом. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости, т. е. чтобы т = 0. В этом случае согласно (1.32) должно удовлетворяться уравнение:

,

1.34

Из условия (1.34) следует, что все корни уравнения А(р)=0 лежат в левой полуплоскости.

Геометрическое место конца вектора A (jω) при называется годографом вектора A(jω), или годогра­фом Михайлова. Согласно (1.33), уравнение годографа Ми­хайлова:

,

1.35

где действительная и мнимая части комплекса соответственно будут:

,	1.36
,	1.37

Из (1.36) и (1.37) следует, что действительная часть является четной функцией ω:

,

1.38

а мнимая часть A (jω) является нечетной функцией ω:

,

1.39

Следовательно,

,

1.40

т.е. A (jω)и A (-jω) являются сопряженными комплексными величинами и, таким образом,

=

1.41

Учитывая (1.41), уравнение можно записать в виде:

,

1.42

Рис. 1.3

Из (1.42) следует формулировка критерия устойчивости Михайлова. Система автоматического ре­гулирования устойчива, если при изменении ω от 0 до + ∞ век­тор А (jω) поворачивается на угол где n — степень ха­рактеристического уравнения А (р) = 0; или, иначе, если годо­граф A(jω) с ростом ω от 0 до +∞, начинаясь на действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов.

На рис.1.3.а показаны годографы А (jω) устойчивых систем для разных значений п. Все они охватывают соответствующее число квадрантов в положительном направлении.

На рис.1.3.б показаны годографы неустойчивых систем. Все они не удовлетворяют условию обхода п квадрантов в по­ложительном направлении.

Годограф А (jω) можно построить по уравнениям (1.36) и (1.37), задаваясь значениями ω и вычисляя U и V.

Годограф можно также построить геометрически исходя из выражения (1.35). Вектор А(jω) при этом представляет собой замыкающую многоугольника, стороны которого равны соответственно и образуют между собой угол в 90°. На рис. 1.4 это построение показано для одной точки ω = ω ₁, когда:

,

1.43

Задаваясь значениями ω в пределах нуль — бесконечность, строят подобным образом весь годограф.

Согласно уравнению (1.6) характеристический полином замкнутой системы можно представить в виде суммы К(р) и D(p). Годографы D(jω) и K(jω) могут быть представлены в виде произведения более простых годо­графов, которые обычно известны и для типовых звеньев имеют про­стой вид. Отсюда следует, что для построения годографа А(jω) необ­ходимо построить годограф D(jω), построить годограф K(jω), сложить векторы D(jω) и K(jω) для каж­дого значения ω.

Рис. 1.4

В случае, когда K(jω) = k, т. е. не зависит от частоты ω, по­строение упрощается. Последние две операции заменяются простым смещением годографа D(jω) вправо вдоль вещест­венной оси на величину k или, что то же самое, смещением мнимой оси влево на величину k.

Пример 7.3. Определить предельный коэффициент усиления k_пр системы автоматической стабилизации напряжения генератора.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

,

где k = k₁ k₂ k₃.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

,

Для решения задачи следует построить годограф Михайлова:

=

Для этого построим вначале годограф:

,

Пусть T₁= 2,0 сек, T₂ = 0,5 сек, T₃ = 0,1 сек.

Тогда:

,	1.44

и годограф D(jω) имеет вид, показанный па рис. 1.5.

Для того чтобы получить годограф А (jω) достаточно мнимую ось сместить влево на величину k. Из рис. 1.5 следует, что система будет на границе устойчивости, если k будет равно k_пр, при котором годо­граф А(jω) пройдет через начало координат. Величина k_np, как это видно из рис. 1.5, мо­жет быть определена из уравнений:

Рис. 1.5

,

1.44`

где ω — частота пересечения, т. е. частота, соответствующая точке пересечения годографа D (jω) с действительной осью.

Решая уравнения (1.44) и (1.44'), для ω = ω_π получим:

,	1.45

Легко заметить, что при подстановке выражений ω_π, τ₂, τ₃ формулы (1.45) и (1.24) совпадают.

К р и т е р и й Н а й к в и с т а. Для исследования устойчи­вости усилителей с обратной связью Найквист в 1932 г. пред­ложил критерий устойчивости, основанный на исследовании частотных характеристик системы. Этот критерий был по-новому обоснован, обобщен и применен в теории автоматиче­ского регулирования А. В. Михайловым в 1938 г. Для исследо­вания устойчивости замкнутой системы регулирования согласно этому критерию необходимо знать частотный годограф разомк­нутой системы. Эту характеристику можно получить как ана­литически, так и экспериментально. Последнее обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от ранее изложенных.

Критерий устойчивости Найквиста имеет ясный физический смысл. Он связывает стационарные частотные свойства разомк­нутой системы с нестационарными свойствами замкнутой си­стемы.

Критерий устойчивости, основанный на пост­роении частотного годографа разомкнутой си­стемы. Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования:

,

Образуем функцию:

,

1.46

Числитель этой функции представляет собой характеристи­ческий полином замкнутой системы, знаменатель — характери­стический полином разомкнутой системы. Пусть степень D(p) равна n и степень K(p) равна r. Из физических соображений следует, что:

,

1.47

В противном случае, при из передаточной функ­ции W(р) можно выделить слагаемые с р выше нулевой сте­пени, что соответствует дифференцирующим звеньям, которые, как было указано в гл. III, не могут быть реализованы на практике. I

Учитывая неравенство (1.47), можно утверждать, что сте­пень полинома D(p)+K(p) также равна п.

Рассмотрим два случая состояния разомкнутой системы: устойчива и неустойчива.

1-й случай — система в разомкнутом состоянии устойчива.

Тогда согласно критерию устойчивости Михайлова изме­нение аргумента характеристического полинома разомкнутой системы:

,

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно удовлетворяться равенство:

,

Из (1.46) при этом следует, что:

,

1.48

Таким образом, система автоматического регулирования устойчива, если изменение аргумента вектора F(jω) при изме­нении ω от 0 до ∞, равно нулю.

На рис. 1.6, а показаны два годографа F(jω) = 1 + W_p (jω) соответствует устойчивой системе: он не охватывает точ­ку (0,0), II — неустойчивой: он охватывает точку (0,0).

Рис. 1.6

Так как F(jω) отличается от W_p (jω) на +1, то сказанное можно сформулировать непосредственно для характеристики W_p (jω) (см. рис. 1.6, б).

Замкнутая система устойчива, если годограф разомк­нутой системы W_p (jω) не охватывает точку (—1,j0).

Пример 1.4. Применим критерий Найквиста для определения предельного коэффициента системы регулирования, рассмотренной в примере 1.3 для которой:

,

Частотные годографы для этой системы при разных значениях k пока­заны на рис. 1.7. Согласно критерию Найквиста, при k=k₁ система устойчива, при k = k₂ — неустойчива.

Рис. 1.7

Для определения значения k_пр необ­ходимо найти значение k, при котором го­дограф проходит через точку (—1,j0), т. е. решить уравнение:

,

или

Составив уравнения для мнимых и действительных частей этого урав­нения, находим ω_π и k_пр:

Полученное решение совпадает с формулами (1.45) и (1.24), найденными с помощью критериев Михайлова и Гурвица.

2-й случай — система в разомкнутом состоянии неустойчива.

При рассмотрении многоконтурных и одноконтурных систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчивой.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива, при этом характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет m корней в правой полуплоскости. Тогда согласно прин­ципу аргумента (1.32):

,

или, учитывая симметрию характеристик для +ω и –ω,

,

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно выполняться равенство:

,

При этом [согласно (1.46)]:

,

1.49

Таким образом, система автоматического регулиро­вания устойчива, если при изменении ω от нуля до бес­конечности годограф разомкнутой системы W_p (jω) охва­тывает ^m/₂ раз точку (—1; j0) в положительном направле­нии, где т — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Рис. 1.8

Кратность охвата может быть наглядно определена числом оборо­тов, совершенных вектором, прове­денным из точки ( —1;j0) в теку­щую точку годографа.

На рис. 1.8 показан годограф устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии неустойчива, а число кор­ней ее т = 2. Годограф охватывает в положительном направлении точ­ку (—1, j0) один раз (^m/₂ =1) следовательно, согласно (1.49) система в замкнутом состоянии устойчива.