11. Моделі систем (ізоморфні та гомоморфні, детерміновані та статистичні).

13. Регресійні лінійні моделі з одним аргументом.

Ці моделі встановлюють лінійну функціональну залежність відгуку у лише від однієї незалежної змінної (одного аргументу) х у вигляді:

= а₀+а₁х, (3.1)

де a₀ - початкове значення у при х = 0; - коефіцієнт впливу варіацій х на варіації у, який частіше називається коефіцієнтом парної лінійної регресії.

Відмітимо, що розрахункові значення у за тих же самих значень х_і, де х_і - експериментально отримані значення незалежної змінної, тобто функція , частіше не співпадають з експериментально отриманими значеннями при тих же значеннях х_і. Але можна обрати такі значення a₀ та а₁, щоб задовольнити умови МНК, що були викладені в попередньому розділі:

(3.2)

Для забезпечення цієї умови, очевидно, необхідно забезпечити виконання наступних двох умов:

(3.3)

Виконаємо ці умови:

що дає наступні дві умови для визначення а₀ та а₁:

або у розгорнутій формі:

Вирішення цієї системи рівнянь відносно а₀ та a₁ дає наступні вирази для розрахунку оптимальних значень коефіцієнтів моделі:

(3.4)

Таким чином, знаючи експериментально отриману множину величин

х_і (і є N) та у_і (і є N), можна розрахувати за допомогою (3.4) чисел значення параметрів лінійної кореляційної моделі а₀ та а₁ що забезпечать мінімальну дисперсію похибки моделі , викликану неврахований факторами, що також збурюють систему.

Потрібно не забувати, що отримана таким чином модель (3.1) забезпечує мінімум лише в області значень х_тin ≤ х ≤ х_тaх. Поза цим інтервалом (тобто при екстраполяції моделі поза даним інтервалом) досить можливо, що мінімум не буде забезпечений в області значень х, що екстраполюється.

Якщо помножити в першому рівнянні системи (3.4) значення а₁ на (-1) і розділити в цьому виразі чисельник і знаменник на N, то можна отримати іншу форму запису системи рівнянь (3.4), більш зручну для практичних розрахунків:

(3.5)

де - середні значення по

При використанні формули (3.5) експериментальні дані х_і та у_і можуть бути зведені до таблиці 3.1 по якій розраховуються проміжні величини, що входять до формули (3.5)

Таблиця 3.1 Дані для розрахунку коефіцієнтів лінійної регресії

	yi	xi	xi2	xi yi
	y1 y2 … yN	x1 x1 … xN	x12 x22 ... xN2	x1 y1 x1 y2 … xN yN	…	…
Всього
Сер.знач

Після заповнення першої та другої колонок експериментально отриманими даними х_i та у_i проводять розрахунки значень двох наступних колонок. Потім сумують отримані значення по кожній колонці в рядку "Всього", після чого розраховують середні значення та шляхом ділення відповідних сум на число експериментальних значень. Отримані дані використовуємо в (3.5) для розрахунку значень а₀ та а₁.

Після розрахунку значень а₀ та а₁ визначають значення з використанням формули (3.1) для значень x_i таблиці 3.1. Отримані значення заносяться в таблицю 3.1 (5-й стовпчик). Потім розраховуються значення квадратів відхилень від у_і для кожного рядка таблиці 3.1, отримані значення додаються в рядок "Всього". Після Ділення отриманої суми на N на перетині 6-го стовпчика і рядка "Всього" отримаємо значення мінімально можливої дисперсії похибки моделі лінійної регресії, що найбільш точно описує взаємозв'язок експериментальних даних у_i та х_i (і = ).

Ступінь впливу незалежного фактору х, що є застосованим в моделі, на змінну у оцінюється при цьому коефіцієнтом детермінації за формулою (2.18), де:

(3.6)

є загальною дисперсією фактору у. Значення ж залишкової дисперсій D визначається як це було показано в таблиці 3.1.

Величина коефіцієнту кореляції R при цьому може бути визначено за допомогою (2.19). Відмітимо, що для лінійної регресії значення R характеризує, поряд зі ступенем зв'язку у та х, також близькість залежності у(х) до лінійної форми (3.1). Вважається, що при |R|≥0,7 лінійна форма є досить адекватною для оцінки форми зв'язку.

Разом з коефіцієнтом кореляції R, який характеризує близькість до лінійної залежності, у лінійних моделях, як і в загальному випадку застосовується також коефіцієнт детермінації К_D = R², який показує, яку частку до варіацій змінної у вносить незалежний аргумент моделі х.

Наприклад, при R =0,8; К_D = 0,64, що означає, що 64% змінності у викликано впливом х та інші 36% викликані іншими незалежними факторами, не врахованими в моделі.

Відмітимо також можливість розрахунку коефіцієнту кореляції R безпосередньо по отриманим експериментальним даним у_i та х_i (і = ). Це буває необхідним, якщо не ставиться задача визначення саме значень коефіцієнтів моделі а₀ та a₁ а лише перевіряється гіпотеза про лінійності зв'язку у та х. В цьому випадку величина R розраховується безпосередньо по експериментальним даним y_і та х_і за допомогою формули:

(3.7)

Серед чисельних комп'ютерних програм ЕОМ, призначених вивчення парної лінійної регресії, можна рекомендувати програму, працює у середовищі "MATHCAD-2000, і яку наведено нижче.