Формальне означення та властивості[ред.]

Як і звичайні похідні, часткова похідна означається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rⁿ та f: U → R. Частковою похідною функції f в точці a = (a₁, ...,a_n) ∈ U за i-ю змінною x_i є

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂x_i(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C¹. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : U → R^m), покомпонентно вибираючи аргумент.

Часткову похідну   можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C²; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

19. Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Звичайні диференціальні рівняння — рівняння вигляду

де   — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної t, штрих означає диференціювання по t. Число n називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

21. Визначення кратного інтеграла

Нехай   - вимірне ^[1] безліч n-мірного речового простору,   - Функція на   .

Розбиття   безлічі   - Це набір попарно непересічних підмножин   , Таке що   .

Дрібність розбиття   - Це найбільший діаметр множин   .

Розбиття називається кінцевим, якщо є кінцевим безліччю, і вимірним, якщо всі його елементи - вимірні (в даному випадку - по Жорданія) безлічі.

Кратним (n-кратним) інтегралом функції   на безлічі   називається число   (Якщо воно існує), таке що, якою б малою   -Околом числа   ми ні задалися, завжди знайдеться таке розбиття множини   і набір проміжних точок, що сума добутків значення функції в проміжній крапці розбиття на міру розбиття буде потрапляти в цю околицю. Формально:

 :   : 

Тут   - Міра безлічі   .

Це визначення можна сформулювати в іншій формі з використанням інтегральних сум. А саме, для даного розбиття   і безлічі точок   розглянемо інтегральну суму

Кратним інтегралом функції   називають межу

якщо він існує. Межа береться по безлічі всіх послідовностей розбиттів, з дрібності прагнучої до 0. Зрозуміло, це визначення відрізняється від попереднього, по суті, лише використовуваним мовою.

Інтеграл позначається наступним чином:

• В векторному вигляді:   ,

• Або ставлять значок інтеграла   раз, записують функцію і   диференціалів:   .

• Для подвійного і потрійного інтегралів використовуються також позначення   і   відповідно.

У сучасних математичних і фізичних статтях багаторазове використання знака інтеграла не застосовується.

Такий кратний інтеграл називається інтегралом у власному розумінні.

У випадку   кратний інтеграл збігається з інтегралом Рімана.

22. Поняття ймовірності події виникло як інтуїтивне поняття, яке дає кількісну оцінку можливості появи події A i позначається Р(А).

Класичне й статистичне означення ймовірності.

Розглянемо простір (множину) елементарних подій А₁, А₂, ... А_n при виконанні комплексу умов S.

, (1)

де m ‑ кількість елементарних подій, сприятливих А,

n ‑ кількість вcix можливих елементарних подій.

За класичним означенням ймовірність появи події шукають не проводячи ніяких дослідів, виходячи з теоретичних міркувань. На практиці часто доводиться мати справу iз статистичною ймовірністю. Її часто називають відносною частотою появи події i позначають

Р =  ,

де m ‑ кількість випробувань, в яких подія А з'явилась,

n ‑ загальна кількість випробувань.

В дослідах статистична ймовірність коливається в околі деякого постійного числа, змінюючись мало, причому тим менше, чим більше проведено дослідів. Ця стала отримала назву класичної ймовірнocтi. Для існування статистичної iмовірнocтi необхідно:

1) мати можливість провести необхідну кількість випробувань, в кожному з яких подія А настане або нi;

2) наявність стійкості відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події ,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.  Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називаєтьсядостовірною і позначається літерою . Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літероюV.Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n : P(A)= m /n.рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій ^ Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n! Розміщенням із n елементів по m  (0  m n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом:  = n! /(n-m)! Комбінаціями з n елементів по m  (0  m n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом:  = n! / m!(n-m)! Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1.  

2. із того, що  ,   випливає, що:  ,  , 

23. Відсо́ток або також проце́нт (лат. «pro centum» — сота доля, на сто). Відсотком якого-небудь числа називають соту частину цього числа

Складні відсотки - це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу береться нарощена сума попереднього періоду.

У формулі нижче, i — це фактична відсоткова ставка за період.   і   представляють майбутнє та поточне значення суми.   представляє кількість періодів.

Ось найбазовіша формула:

Наведене рівняння обраховує майбутнє значення ( ) для поточного інвестованого значення ( ), яке наростало зі сталою відсотковою ставкою ( ) за   періодів.

Складений[ред.]

Формула для обчислення річного складного відсотку така:

Де,

• A = вихід

• P = початковий внесок

• r = річна номінальна процентна ставка (як дріб, не відсоток)

• n = кількість разів складання відсотку за рік

• t = кількість років

Приклад використання: Сума 1500.00 вкладена в банк, річна відсоткова ставка якого становить 4.3%, і складається щоквартально. Знайти баланс через 6 років.

A. Із використанням попередньої формули, з P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4 і t = 6:

Отже баланс по проходженні 6 років становитиме близько 1,938.84.

Відношення чисел або величин можна виражати у відсотках. Щоб знайти, скільки відсотків перше число становить від другого, потрібно ці числа поділити перше на друге і частку помножити на 100відсотків.

Щоб визначити, на скільки відсотків збільшилась або зменшилась задана величина, необхідно:

- знайти, на скільки одиниць збільшилась або зменшилась задана величина;

- знайти, скільки відсотків становить знайдена різниця від заданого значення величини.

24. Основні теореми теорії ймовірностей. Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити ймовірність суми двох несумісних подій. При аксіоматичному підході (див. §1, п.1.6) це приймається як аксіома. 2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Якщо події А і В несумісні (А В= Ø), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей . (1)

Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді,  - число елементарних подій, сприятливих події ^ А,   - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події   сприяють  +  елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності

 Умовна ймовірність. Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності  не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події  відбувається за умови, що відбулась інша подія  , причому  , то ймовірність появи події   називають умовною і обчислюють за формулою , ( ). (5)

 Теорема множення ймовірностей залежних подій. Розглянемо дві залежні події   і  , причому відомі ймовірності   і  . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою: Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася  (8) або  . Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо  .

Оскільки  , то  .

 Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо  . (10) Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні. Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С. Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій. Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С, А і В С, В і  С,   і  . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності. Відповідно для   незалежних в сукупності подій   ( ) теорема множення ймовірностей

записується  . (11)

 Ймовірність появи принаймні однієї події.

Нехай в результаті експерименту можуть з’явитися події  ,  ,  , незалежні в сукупності, причому відомі ймовірності їх появи   і ймовірності не появи   , ( ) , ( ).  Нехай   - подія, яка полягає в появі принаймні однієї з подій  ,  ,  , тобто поява або однієї, або двох, або трьох подій = ( ) ( ) ( ) ( ). Подія  (не появилася жодна з подій) є протилежною до події  :  = . Отже,  , або  + ( )=1. Звідки  =1- ( ), оскільки події , ,  незалежні в сукупності, або інакше  . Для  подій  ,  ,…,   маємо  . (12) Зокрема, якщо  , то   і  . (13)

25. Випадкова подія — подія, яка при заданих умовах може як відбутись, так і не відбутись, при чому існує визначена ймовірність p (0 ≤ p ≤ 1) того, що вона відбудеться при заданих умовах. Випадкова подія є підмножиною простору елементарних подій.

Те, що випадкова подія має деяку ймовірність проявляється в поведінці її частоти: якщо вказані умови повторити   раз, а подія   відбудеться при цьому   раз, то частота   реалізації події   при великих   стає близькою до  .

Подія може вважатися випадковою лише коли вона може повторитись довільну кількість разів.

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називаєтьсядостовірною і позначається літерою . Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літероюV.Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … ^ Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n : P(A)= m /n.рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія ^ А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

26. Обчислення площі в декартових координатах

В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю  кривою    причому   на відрізку   може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою

 (10.1)

Нехай у прямокутній системі координат фігура   (рис.10.1) обмежена кривими

Виділимо у фігурі смужку шириною  . Її довжина дорівнюватиме  . Тоді площа смужки  .

Звідси  Отже, 

 (10.2)

27. Нехай функція визначена в деякому околі точки і fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=0. Нехай A= fxx(x0,y0), B fxy(x0,y0) та C = fyy(x0,y0) неперервні. Тоді при AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A0 – мінімум ). При AC-B20. Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) . Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f(x1…xn). Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе). . Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається додатно визначеною в точці ( ) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо M1>0, M20,…,(-1)nMn>0. У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними. Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від’ємними. Теорема . Нехай функція z = f(x1…xn) визначена в околі точки ( ) і . Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B2>0, …) в точці ( ) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A0, …) – максимум.

28.