1)неусувна похибка – похибка, котра виникає за рахунок неточності вхідних даних. Природа цієї похибки лежить в неточності процесу вимірювання або в обмеженій точності представлення чисел як довідкових даних. Подальші обчислення можуть лише врахувати вплив цієї похибки на результат, але ні в якому разі не усунути її.
похибка методу – це похибка, яка виникає на етапі розробки методу обчислення в результаті спрощення певного математичного процесу шляхом заміни його більш простим для розрахунків (лінеаризація складної залежності, представлення у вигляді степеневого або гармонічного ряду, дискретизація тощо).
похибка збіжності – виникає на етапі розробки методу обчислення в результаті примусового переривання ітераційного процесу або в результаті примусового обмеження кількості членів ряду тощо.
«системна» похибка, яка виникає за рахунок перетворення чисел із десяткової системи числення в двійкову для подальшої обробки на ЕОМ, та зворотного перетворення. Похибка виникає на етапі обчислення і лише в випадку використання ЕОМ для обчислень.
похибка округлення – виникає на етапі обчислень внаслідок обмеженості обчислювальних ресурсів, причому як в ЕОМ, так і при «ручних» обчисленнях. Алгоритми перетворення чисел з десяткової в двійкову систему числення побудовані таким чином, що «зайві» двійкові розряди просто відкидаються, а зворотне перетворення враховує правило округлення. При виконанні обчислень намагаються, щоб похибка округлення була значно меншою від інших похибок.
2) Нехай х* – точне значення деякої величини, х – наближене значення цієї ж величини.
Різниця між точним і наближеним значеннями величини називається похибкою наближення і позначається ∆:
∆= х* – х
За таким означенням похибка наближення ∆ може бути числом як додатнім, так і від`ємним.
Модуль різниці точного і наближеного значень величини називається абсолютною похибкою наближення і позначається через ∆х:
∆х
= 
|
х*
– х
|
Відносною похибкою δ наближення (вимірювання) називається відношення абсолютної похибки ∆х наближення до точного значення величини х:
Оскільки точне значення величини, як правило, буває невідомим, то його замінюють наближеним значенням
3) Цифра в десятковому записі наближеного значення величини х називається правильною, якщо абсолютна похибка наближення не перевищує половини одиниці того розряду, якому належить цифра .
Цифри в записі наближеного значення числа, про які нам не відомо, чи є вони правильними, називаються сумнівними.
1. Гранична абсолютна похибка суми декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків:
2. Гранична відносна похибка суми не перевищує максимальну з граничних відносних похибок доданків.
3. Гранична відносна похибка добутку або частки декількох наближених чисел, відмінних від нуля, дорівнює сумі відносних граничних похибок операндів.
4. Гранична відносна похибка степеня (в тому числі кореня як степеня з дробовим показником) наближеного значення числа дорівнює добутку показника степеня на граничну відносну похибку основи:
5)
1. Гранична абсолютна похибка суми декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків: ∆u = , де u = . 2. Гранична відносна похибка суми не перевищує максимальну з граничних відносних похибок доданків. 3. Гранична відносна похибка добутку або частки
декількох наближених чисел, відмінних від нуля, дорівнює сумі відносних граничних похибок операндів. δu = δα + δb, де u = α * b або u = α / b. 4. Гранична відносна похибка степеня (в тому числі кореня як степеня з дробовим показником) наближеного значення числа дорівнює добутку показника степеня на граничну відносну похибку основи: , якщо . При виконанні розрахунків, в яких операндами є наближені числа, слід керуватись наступним правилом: для того щоб в результаті ряду дій, кількість яких невідома, отримати число з n правильними цифрами, вихідні дані слід взяти з n + 1 правильними цифрами, в усіх проміжних результатах зберігати n + 1 правильну цифру, і лише кінцевий результат заокруглити до n цифр.
7) Відокремлення коренів рівняння
Загальний підхід до розв’язування задачі ізоляції кореня дає терема про існування та єдиність кореня рівняння: якщо функція у = f( x ) визначена і диференційована на деякому відрізку [a, b], на кінцях відрізка набуває значень різних знаків, а похідна функції f( x ) в усіх точках відрізка зберігає сталий знак, то на цьому відрізку рівняння f( x ) = 0 має корінь, причому лише один.
На цій теоремі базується аналітичний метод відокремлення (ізоляції) коренів рівняння.
Знайти область визначення функції f( x ).
Знайти критичні точки f( x )) = 0
Знайти значення функції в критичних точках.
Визначити ті інтервали монотонності функції, на кінцях яких функція набуває значень різних знаків. Це і будуть відрізки ізоляції коренів.
Найскладнішим в цьому алгоритмі є п.2, оскільки додатково до заданого, він вимагає розв’язування ще одного рівняння, яке може виявитись складнішим від „основного”.
Більш простим і наочним є графічний метод відокремлення (ізоляції) коренів рівняння. Шукані відрізки містять по одній точці перетину графіка функції з віссю абсцис. Проте, побудова графіків функцій „від руки ” стикається з певними труднощами, пов’язаними як зі значними похибками, так і зі складністю побудови.
У випадку складного аналітичного виразу функції f( x ) та наявності ЕОМ для виконання обчислень відрізки ізоляції кореня можна визначити методом послідовного перебору.
Приведемо словесний опис алгоритму послідовного перебору. Якщо на деякому відрізку [a, b] функція f( x ) задовольняє умовам теореми про існування та єдність кореня, то для відокремлення коренів треба:
1. Взяти точку a.
2. Обчислити значення U = f(a).
3. Взяти деякий крок h, наприклад, h = ( b – a )/10.
4. Обчислити значення V = f( a + h ).
5. Порівняти знаки значень U та V.
6. Якщо знаки різні – корінь на [a, a + h] існує, в іншому випадку замінити a на a + h , U на V і продовжити обчислення, починаючи з п. 2.
8) Метод поділу проміжку пополам
Ізоляція кореня на відрізку [a,b] часто не дає необхідної за умовами задачі точності, що спонукає шукати методів звуження відрізка до необхідної довжини, тобто уточнення кореня.
Найпростішим з методів уточнення кореня є метод поділу відрізка пополам (метод дихотомії). Він може бути застосований до функцій, котрі задовольняють умовам теореми про існування і єдність кореня, і дозволяє досягти точності, допустимої для даної ЕОМ.
Нехай функція у= f( x ), якою задане рівняння f( x ) = 0, на відрізку [a , b] задовольняє умовам згаданої теореми, гранична абсолютна похибка обчислення кореня складає , яке менше за величину (b – a).
Тоді наступний алгоритм дій визначає метод дихотомії.
Відрізок [a , b] ділять пополам точкою c = (a + b)/2.
Обчислюють значення f( c ).
Якщо f( c ) = 0 , тоді коренем рівняння є число х* = c.
Якщо f( c ) ≠ 0 і (b – a) < 2 , то точкою c = (a + b)/2 вже досягнуто заданої точності, і значення х* = c є коренем рівняння із заданою похибкою.
Якщо f( c ) ≠ 0 і (b – a) > 2 , то порівнюють знаки значень f( a ) та f( с ). Якщо знаки однакові, то за теоремою про існування і єдиність розв’язку на відрізку [a , с] функція коренів не має, і вихідний відрізок [a , b] звужують шляхом „пересування” точки a на місце точки с . Якщо ж знаки різні, то кореня немає на відрізку [c , b], і на місце точки с цього разу „пересувають” точку b.
новим відрізком [a , b] повторюють операції, починаючи з пункту 1.