2.2. Представление прибыли как функции многих переменных.

Представим себе прибыль как выручка минус затраты:

Прибыль = ЦенаОбъем продаж  Затраты. (6)

Или в терминах квадратичных форм

Y = x₁x₂  x₃. (7)

Если x₃ = Const, то

Y = x₁x₂  Const. (8)

Приведем ее трехмерное изображение этой функции (8), при условии, что затраты постоянны, т.е. при x₃ = Const. Можете убедиться, что эта функция не является ни положительно-определенной, ни отрицательно-определенной квадратичной формой.

Рис.3. Трехмерный график прибыли, при условии, что затраты постоянны (гиперболический параболоид).

Введем обозначения:

Profit_t  прибыль по конкретному товару за определенный интервал времени t;

P_t  цена конкретного товара в интервале времени t;

Q_t  объем продаж конкретного товара за интервал времени t;

Y_t  средний доход потенциального покупателя за интервал времени t,

Y_t-1  средний доход потенциального покупателя за предыдущий период времени;

R_t  процентная ставка рефинансирования;

Z_t  затраты (издержки) предприятия по конкретному товару за интервал времени t.

Тогда формула (6) для прибыли примет вид:

Profit_t = P_tQ_t  Z_t. (9)

Предположим, что по некоторому предприятию за некоторый интервал времени имеются статистические данные по конкретному товару.

Таблица 1. Статистические данные продаж некоторого предприятия по конкретному товару.

кварталы	№ квартала	Qt	Pt	Rt	Yt	Yt-1	Zt
2006_квартал_1	1	280	15	0,11	3200	3000	200
2006_квартал_2	2	274	16	0,11	3200	3200	198
2006_квартал_3	3	225	16	0,114	3200	3200	180
2006_квартал_4	4	213	17	0,119	3200	3200	176
2007_квартал_1	5	199	17	0,11	3300	3200	150
2007_квартал_2	6	187	18	0,11	3300	3300	140
2007_квартал_3	7	184	18	0,114	3400	3300	140
2007_квартал_4	8	151	19	0,116	3500	3400	120
2008_квартал_1	9	118	20	0,12	3600	3500	110

Теперь предположим, что объем продаж зависит от цены и от среднего дохода потенциального покупателя, а также от среднего дохода потенциального покупателя за предыдущий период времени:

Q_t = a₀ + a₁P_t + a₂R_t + e1_t, (10)

P_t = b₀ + a₁P_t + a₂Y_t + a₃Y_t-1 + e2_t, (11)

где e1_t, и e1_t,

Предположим, также, что затраты зависят от объема продаж

Z_t = c₀ + c₁Q_t, (12)

Тогда

Profit_t = P_t(a₀ + a₁P_t + a₂ R_t + e1_t)  Z_t

Или

Profit_t = P_t(a₀ + a₁P_t + a₂ R_t + e1_t)  c₀  c₁Q_t, (13)

Подставим выражение (10) для объема продаж Q_t в выражение для прибыли (13)

Profit_t = P_t(a₀ + a₁P_t + a₂ R_t + e1_t)  c₀  c₁(a₀ + a₁P_t + a₂ R_t + e1_t),

Если обозначим цену P_t через x, то получим квадратичную зависимость прибыли от цены:

Profit_t = x(a₀ + a₁x + a₂ R_t + e1_t)  c₀  c₁(a₀ + a₁x + a₂ R_t + e1_t).

После приведения подобных членов получим

Profit_t = a₁x² + x(a₀ + a₂ R_t + e1_t  c₁a₁) 

 c₀  c₁a₀  c₁a₂ R_t  c₁e1_t. (14)

Для вычисления коэффициентов уравнения (10)(11) применим двухшаговый метод наименьших квадратов []. В результате получаем, что

a₁= 30,2482; a₀ = 849,381; a₂= 1070,1.

Поскольку a1<0, график прибыли имеет вид вогнутой параболы (рожками вниз), изображенной на рис. 4.

Рис. 4. График прибыли в виде параболы.

Осталось найти цену x= P_t, при которой прибыль будет максимальной. Другими словами, ту точку на оси OX, при которой парабола будет иметь максимальное значение. Для этого воспользуемся необходимым условием минимума функции многих переменных, а именно, в точке максимума производная прибыли по цене должна равна нулю. Из выражения (14) получим

.

Отсюда

. (15)

При таких значениях цены P_t, при которой прибыль будет максимальной.

Замечание 1. Присутствие отклонения е1_t в числителе выражения (15) говорит о том, что значение цены P_t, при которой прибыль будет максимальной, будет приближенным значением. Или, другими словами будет вычислена в некотором коридоре (интервале). Ширина этого интервала будет определяться величиной (мерой) отклонения е1_t.

Задача. Найдите частные производные, градиент функции

L(x₁, x₂)= x₁⁴ + x₂⁴ - x₁² - 2x₁x₂ + x₂²

в точке M=(1, 1, -1). Вычислите матрицу вторых производных в этой точке. Постройте график этой функции в MS EXCEL.