Введение

В науке особенно важны ясность и точность выражений мыслей. Язык науки не должен создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой информации, но должен доносить идеи и факты в однозначном, не допускающем различных толкований виде. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или предположение не было искажено при передаче сообщений или же в процессе рассуждений. Необходимо также предусмотреть все мыслимые исходы и не пропустить каких-либо возможностей. Научное изложение должно быть кратким и исчерпывающим, сохранять полную определенность. Именно поэтому наука обязана разрабатывать собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Вспомним, как четок и лаконичен язык химических формул. Он позволяет химикам не только записывать ход химических процессов, но и предвидеть возможные соединения. Однако этот язык, несмотря на свою важность, не распространяется на другие области знания. По-видимому, впервые четко и ярко о математике как языке науки почти четыреста лет назад сказал великий естествоиспытатель прошлого Галилео Галилей (1564 1642). «Философия написана в грандиозной книге  природе,  писал он,  которая открыта для всех и каждого, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке, а знаки ее — математические формулы». Несомненно, что с тех пор наука добилась огромных успехов и одновременно язык математики стал более гибким, более приспособленным к требованиям практики. Французский физик-теоретик Луи де Бройль прекрасно сказал: «...где можно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особыми языком, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой неопределенности, ни для какого неточного истолкования». Немецкий физик прошлого столетия В. Гайзенберг так охарактеризовал место математики в современной теоретической физике: «Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов. Приведем высказывания выдающегося датского физика Нильса Бора, который заявил, что «...математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки».

Заметим, что математическая символика не только не оставляет места для неточности выражения мысли и расплывчатого истолкования написанного, но позволяет вдобавок автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения результатов.

Глава 1. Основные понятия и этапы математического моделирования

1.1. Основные задачи экономико-математического моделирования.

Моделирование – это исследование объектов познания не непосредственно, а косвенным путём, при помощи анализа некоторых других объектов (в частности, моделей).

Математическая модель – это отражение в математических символах существенных сторон исследуемого явления или процесса.

Фридрих Энгельс в работе “Анти-Дюринг” определил: “…чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира”. Их можно назвать моделями.

Можно поставить вопрос - в чём же смысл таких моделей? Ответ на него очень прост. Такие модели позволяют лицам определённой интеллектуальной настроенности понимать поведение системы лучше, чем, если бы оно изложено вербально. Студенту для достижения некоторого уровня такой интеллектуальной настроенности нужно в первую очередь, как это ни банально звучит, учиться, учиться и ещё раз учиться. Это необходимо ещё и потому, что математические языки, и в частности, язык дифференциальных уравнений очень высокой степенью общности. У человека, владеющего этим языком, сразу же возникает множество ассоциаций с аналогичными, хорошо известными ситуациями, описываемыми такими же уравнениями. Математическая модель сразу же становится на своё место в системе тех представлений, которыми располагает учёный, мыслящий на языке математики. Но всё это вызывает не слабое раздражение со стороны представителей гуманитарных наук, для которых язык математики всё же остаётся плохо выученным иностранным языком. Их точку зрения можно сформулировать так: зачем говорить и мыслить на неродном языке?

Противоположной точкой зрения является следующее утверждение, если хочешь понять некоторые вещи, нужно осваивать разные языки.

С каждой экономико-математической моделью тесно связана некоторая математическая задача (а точнее некий раздел математики, в котором решаются такие задачи). Каждая математическая модель сводится к некоторой математической задаче и к их совокупности, т.е. для исследования изучаемого явления и его математической модели, для получения результатов моделирования необходимо решить математические задачи.

Различие здесь состоит в том, что математические задачи можно решать без содержательной постановки, т.е. самостоятельно (напротив, исследование реального процесса и его математической модели должно проводиться параллельно с математическим решением и исследованием параметров моделируемого явления или процесса).

Здесь возникает первая реальная опасность (для преподавателей с чисто математическим образованием и их студентов)  уйти в изучение абстрактных математических структур. В результате студенты, владея процедурами расчёта, имеют поверхностное представление о самом объекте моделирования, определении целей и критериев моделирования, и, в конечном счёте, не смогут ни поставить реальную конкретную задачу, ни решить её.

Вторая опасность кроется в том, что для решения поставленной задачи моделирования могут предлагаться субъективные методы решения (не апробированные и лежащие в стороне от классических методов решения подобного класса задач), этим грешат исследователи, имеющие, как правило, техническое образование. В результате классические работы по экономико-математическому моделированию остаются в стороне, и студенты не понимают моделей, изложенных в известных работах и учебниках.

Автор разделяет точку зрения одного из исследователей в том, что Россия должна строить свою модель экономического развития, в том числе математическую – в этом заключается одна из главных проблем нашего времени.

Выделяют следующие этапы решения задач при использовании экономико-математических моделей.

1. Постановка задачи в словесной постановке (вербальная задача).

2. Формализация задачи (переход к математической постановке), выбор математической модели.

3. Поиск метода решения задачи.

4. Решение задачи с использованием информационных технологий.

5. Анализ решения задачи.

6. Интерпретация решения задачи в терминах исходной постановки.

7. Сопровождение задачи.

8. Создание режима благоприятствования для внедрения модели в реальную практику принятия решений.

Для того чтобы уяснить роль этих этапов рассмотрим пример построения модели.

Пример 1.

Этап 1 (вербальный).

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой 1000 долларов в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5долларов, а каждая минута телерекламы в месяц - 100 долларов. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Этап 2.

x₁ – планируемое количество минут, которые будут заказаны на радио;

x₂ – планируемое количество минут, которые будут заказаны на TV;

x₁ 0, x₂  0,

5x₁ + 100x₂  1000,

x₁  2x₂,

Z(x₁, x₂) =

Приведем некоторые данные 1983 года об использовании математических подходов, методов и моделей в задачах управления 125 крупнейшими корпорациями США [из статьи: Guisseppi A. Forgionne. Corporate Management Science Activities: An Update, Interfaces, 13 (June 1983). P. 20-23].

Метод, модель	Частота использования, % корпораций
	Редко	Умеренно	Постоянно
Статистический анализ	2	38	60
Имитационное моделирование	13	53	34
Сетевое планирование	26	53	21
Линейное программирование	26	60	14
Теория очередей	40	50	10
Нелинейное программирование	53	39	8
Динамическое программирование	61	34	5
Теория игр	69	27	4

Отсюда видно, наиболее используемыми методами являются самые простые методы и модели статистического анализа. А также необходимо особо отметить, что на втором месте по частоте использования находятся методы имитационного моделирования.