3.3. Экономический смысл частных производных.

Рассмотрим в качестве примера производственную функцию КоббаДугласа:

Y = АК^L^,

где А, ,  — неотрицательные константы и + ≤ 1; а К — объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве, скажем число станков; L — объем трудовых ресурсов, например число рабочих; у — выпуск продукции в стоимостном выражении.

Величину l = Y/L естественно назвать средней производительностью труда — ведь это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим.

Величину k = Y/K естественно назвать средней фондоотдачей — ведь это количество продукции (в стоимостном выражении), прихо­дящееся на один станок (на одну единицу фондов).

Величину f = К/L естественно назвать средней фондовооружен-ностью или просто фондовооруженностью — ведь это стоимость фондов, приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов, например на одного рабочего.

С другой стороны, зафиксируем текущее состояние предприятия, т.е. объем фондов К и число рабочих L. Им соответствует выпуск продукции Y = Y(К, L). Если нанять еще одного рабочего, то приращение выпуска составит Y = Y(К, L +1)  Y(К, L). Это частное приращение и потому Y = Y'_L(K, L)L, а так как L = 1, то YY'_L(K, L).

Вывод: Частная производная от производственной функции по объему трудовых ресурсов (кратко: производная выпуска по труду) приблизительно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одним дополнительным рабочим. По этой причине эта частная производная Y'_L = AK^L^-1 называется предельной производительностью труда.

Если же увеличить фонды еще на единицу — купить еще один станок, то добавочная стоимость продукции, произведенной на нем, окажется приблизительно равной частной производной от производственной функции по объему фондов (кратко: производной выпуска по фондам). Эта частная производная Y'_K = АК^-1L^ называется предельной фондоотдачей.

И предельная производительность труда, и предельная фондоотдача — это абсолютные величины. Но в экономике чрезвычайно удобно задавать такие вопросы: на сколько процентов изменится выпуск продукции, если число рабочих увеличится на 1%, или если фонды возрастут на 1%? и т.д. Такие вопросы и ответы на них используют понятие «эластичность функции по аргументу» или «относительная производная».

Напомним, что в случае функции одной переменной у = f(х) эластичностью функции по аргументу называется величина

(у/у)/(х/х) или y'/(y/x).

Для функции многих переменных обычная производная заменяется частной производной.

Продолжим рассмотрение производственной функции КоббаДугласа. Найдем эластичность выпуска продукции по труду

E^Y_L = Y'_L/(Y/L).

Подставляя найденную выше частную производную Y'_L и выражение Y через K, L, получим

Е^Y_L = AK^L^-1/(AK^L^/L) = .

Итак, параметр  имеет ясный экономический смысл — это эластичность выпуска по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр  — это эластичность выпуска по фондам.

Пример 6. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на 3%, надо увеличить фонды на 6% или численность рабочих на 9%. В 1997 г. один работник за месяц производил продукции на 1 млн руб., а всего работников 1000. Основные фонды оценивались в 10 млрд руб. Написать производственную функцию и величину средней фондоотдачи.

Видим, что эластичность выпуска по труду  = 1/3, а по фондам  = 1/2, следовательно, функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Y = AK^1/2L^1/3.

Подставляя остальные данные, получим:

10⁶1000 = A(10¹⁰)^1/2(1000)^1/3,

т.е. A = 1000. Окончательно: функция Кобба-Дугласа есть

Y = 1000AK^1/2L^1/3,

а средняя фондоотдача равна k =Y/К = 10⁶ 1000/10¹⁰ = 0,1.

Теорема Ферма (необходимое условие оптимальности): Пусть функция f(x,y) определена и дифференцируема на R2 , и в точке (x*, y*) достигает экстремума (min или max), тогда все частные производные первого порядка данной функции в этой точке должны быть равны нулю.

Задачи

Задача 1. Найдите все производные 1-го и 2-го порядков функций:

u = (sin(x)+ cos(у))²; б) u = х² + у² — 4xу; в) u = ху + х/у.

Задача 2. Составить графическое представление функции

f(x,y)=3x₁²+ 6x₂² +7

При ограничениях:

x₁ +x₂ <=4,

2x₁ +7x₂<=5,

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Найти точки, в которых рассматриваемая функция достигает минимума и максимума.

Задача 3.

Нарисовать на плоскости X0Y многогранник, являющийся областью решений системы линейных неравенств, а также линии уровня целевой функции. Найти в трёхмерном пространстве XYZ координаты угловых точек соответствующих минимальному и максимальному значению целевой функции на данном многограннике.

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ ≤ b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ ≤ b₂,

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ ≤ b₃,

x1  0, x2  0.

В качестве a₁₁ возьмите первую цифру зачетки.

В качестве a₁₂ возьмите вторую цифру зачетки.

В качестве a₂₁ возьмите третью цифру зачетки.

В качестве a₂₂ возьмите четвертую цифру зачетки и т.д.

В качестве b₁ возьмите сумму a₁₁ и a₁₂ .

В качестве b₂ возьмите сумму a₂₁ и a₂₂ .

В качестве b₃ возьмите сумму a₃₁ и a₃₂ .

Постройте графики функций:

Рис. 3.1. График функции двух переменных.