Глава 3. Необходимые и достаточные условия минимума функций многих переменных. Классический метод.

3.1. Определение частных производных функции многих переменных. Понятие градиента.

Чтобы избежать громоздких обозначений, ограничимся здесь функциями трех переменных. Случай большего числа переменных полностью аналогичен.

Итак, пусть числовая функция u =f(х, y, z) определена в некоторой открытой области D. Возьмем некоторую точку М(а, b, с) из этой области. Если значения переменных у, z оставить равными b, с соответственно, а х изменять, то и будет фактически функцией одной переменной х (по крайней мере, в некоторой окрестности точки b); поэтому можно поставить вопрос о наличии производной этой функции в точке а. Придадим х приращение х, тогда функция получит приращение u =f(a + х, b, с)  f(a, b, с), которое называется частным приращением по х, поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По определению производной, она представляет собой предел

.

Эта производная называется частной производной функции f(х, у, z) по х в точке (а, b, с). Частную производную обозначают u/х или u'_х или f '(a, b, с).

Аналогично, считая х, z равными а, с соответственно и изменяя у, можно рассматривать предел

,

который называется частной производной функции f(x, y, z) по у в точке (а, b, с) и обозначается u/y или u'_y или f '_y (a, b, с). Точно так же определяется частная производная функции f(х, у, z) по z в точке (а, b, с); она обозначается u/z или u'_z или f '_z(a, b, с). Само же вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обычной производной. Просто при вычислении частной производной по какой-то переменной все остальные считаются константами.

Пример 1. Найдем частные производные функции u =х²у + 2z. Имеем: u/х = 2ху; u/у = х²; u/z = 2.

Если собрать все частные производные, то получим трехмерный вектор (u/х, u/у, u/z). Он обозначается обычно u и называется градиентом. Градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции в окрестности точки (x₁, ..., х_n). Антиградиент указывает направление наискорейшего убывания функции в окрестности точки (x₁, ..., х_n).

В общем случае функции n переменных этот вектор есть u(x₁, ..., х_n) = (u/х₁, ..., u/х_n). Если вектор-набор аргументов обозначить X = (x₁, ..., х_n), то иногда вводят обозначение du/dХ, понимая под этим вектор-градиент (u/х₁, ..., (u/х_n).

3.2. Частные производные 2-го и высших порядков.

Частные производные являются функциями тех же аргументов, поэтому можно находить частные производные от них. Эти производные называются частными производными 2-го порядка от исходной функции.

Пример 2. Пусть u есть функция из примера 1, т.е. и = х²у + 2z. В примере 1 уже были найдены частные производные: u/х = 2ху; ди/ду = х²; u/z = 2. Найдем теперь частные производные 2-го порядка:

u''_xx= (2ху)'_x = 2y; u"_iy = (2xy)'_y = 2х; u"_z = (2ху)'_z = 0;

u"_уx = (x)'_х= 2; u"_yy = (x²)'_y = 0; u''_yz = (x²)'_z = 0;

u''_zx = (2)'_x; u''_zy = (2)'_y; = 0; u''_zz = (2)''_z = 0.

Производные, взятые последовательно по разным производным, «называются смешанными. Как видно, смешанные производные u"_xy = u''_yx = 2x; u''_xz = u''_zx = 0; u''_yz = u''_zy = 0.

Это не случайно, смешанные производные действительно равны при некоторых условиях, налагаемых на функцию. Обычно для функций, используемых в экономике, эти условия выполняются.

Все основные правила нахождения производных 1-го и высших порядков для функции одной переменной остаются в силе и для нахождения частных производных функции многих переменных — например, правило нахождения производной сложной функции. Напомним его на примере.

Пример 3. Пусть u = (2х + y³)².

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

u'_х = 2(2х + y³)2 = 4(2х + у³) = 8х + 4y³;

u'_y = 2(2х +у³)3у² = 12ху² + 6y⁵;

u"_xx = (8х + 4y³)'_x = 8;

u"_xy = (8х + 4у³)'_y = 12у²;

u"_yx = (12хy² + 6y⁵)'_y = 12у²;

u"_yy = (12ху² + 6y⁵)'_yy = 24хy + 30y⁴ и т.д.

Другим примером может быть правило нахождения производной функции с параметром. Пусть функция u = f(x, у, z), причем каждая из переменных х, у, z в свою очередь есть функция от переменной t: x = a(t), у = b(t), z = c(t). Подставив выражения х, у, z через t в функцию f убедимся, что u есть сложная функция от t. и = f(a(t), b(t), c(t)).

Как найти производную u'_t? Конечно, ее можно найти по правилам нахождения производной функции одной переменной. Но можно доказать, что u't = u'_xх'_t + u'_yу'_t + u'_zz'_t (при некоторых условиях на рассматриваемые функции). Конечно, надо видеть, что u'_х, u'_y, u'_z  это частные производные функции u по своим переменным х, y, z, a x'_t, y'_t, z'_t, — это обычные производные функций х = а(t), y = b(t), z = c(t) по переменной.

Пример 4. Пусть и = ху² и х = t, y = t, тогда u = t³ и u'_t = Зt². С другой стороны, используя частные производные, получим: u'_t = u'_xх' + u'_yу' = у²1 + 2ху1 = t² + 2t² = Зt².

Иногда функция многих переменных задается неявно, путем какого-нибудь равенства  формулы со многими переменными. Например, пусть F(x, у, z) = 0  выражение с тремя переменными, такое, что для всяких х, у найдется только одно такое z, что выполняется условие F(x, у, z) = 0. Следовательно, равенство F(x, у, z) = 0 определяет z как функцию от х, у, т.е. z есть функция двух переменных. Нахождение частных производных для такой функции покажем на примере.

Пример 5. Пусть х²у + z = 0. Чтобы найти частную производную u/х, продифференцируем равенство по х, имея в виду, что у постоянно и z зависит от х. Получаем: 2ху + z/х = 0, следовательно, z/х = 2ху.

В данном случае этот результат легко проверить. Действительно, z легко выразить в явном виде как функцию х, у: z = -х²у. Значит, z/х = -2ху.