4.2 Проверка гипотезы нормальности распределения по различным методикам
Выборку представленную в таблице 4.1 проверим на подчинение нормальному закону распределения используя различные методики.
Таблица 4.1 – Таблица значений выборки (наблюдений)
№ значения выборки |
Значения выборки (х) |
№ значения выборки |
Значения выборки (х) |
1 |
181 |
11 |
172 |
2 |
159 |
12 |
185 |
3 |
155 |
13 |
174 |
4 |
175 |
14 |
180 |
5 |
163 |
15 |
188 |
6 |
151 |
16 |
161 |
7 |
157 |
17 |
198 |
8 |
177 |
18 |
168 |
9 |
165 |
19 |
169 |
10 |
170 |
20 |
171 |
Вычислим основные выборочные характеристики. Вычисления будем производить в табличной форме (таблица 4.2).
Таблица 4.2 – Данные для вычисления выборочных характеристик
№ |
|
|
|
|
|
1 |
181 |
10,05 |
101,00 |
1015,05 |
10201,00 |
2 |
159 |
-11,95 |
142,80 |
-1706,46 |
20391,84 |
3 |
155 |
-15,95 |
254,40 |
-4057,68 |
64719,36 |
4 |
175 |
4,05 |
16,04 |
64,96 |
257,28 |
5 |
163 |
-7,95 |
63,20 |
-502,44 |
3994,24 |
6 |
151 |
-19,95 |
398,00 |
-7940,1 |
158404,00 |
7 |
157 |
-13,95 |
194,60 |
-2714,67 |
37869,16 |
8 |
177 |
6,05 |
36,60 |
221,43 |
1339,56 |
9 |
165 |
-5,95 |
35,40 |
-210,63 |
1253,16 |
10 |
170 |
-0,95 |
0,90 |
-0,855 |
0,81 |
11 |
172 |
1,05 |
1,10 |
1,155 |
1,21 |
12 |
185 |
14,05 |
197,40 |
2773,47 |
38966,76 |
13 |
174 |
3,05 |
9,30 |
28,365 |
86,49 |
14 |
180 |
9,05 |
81,90 |
741,195 |
6707,61 |
15 |
188 |
17,05 |
290,70 |
4956,43 |
84506,49 |
16 |
161 |
-9,95 |
99,00 |
-985,05 |
9801,00 |
17 |
198 |
27,05 |
731,70 |
19792,48 |
535384,89 |
18 |
168 |
-2,95 |
8,70 |
-25,66 |
75,69 |
19 |
169 |
-1,95 |
3,80 |
-7,41 |
14,44 |
20 |
171 |
0,05 |
0,0025 |
0,000125 |
0,000006 |
∑ |
3419 |
0 |
2666,54 |
11443,57 |
973974,99 |
По коэффициенту вариации.
Вычислим коэффициент вариации по формуле 2.13:
.
Следовательно выборка подчиняется
нормальному закону распределения.
По коэффициентам эксцесса и ассиметрии.
Вычислим коэффициент асимметрии по формуле 2.12:
Так как g1 = 0,37 ≠ 0. Следовательно, некоторая асимметрия имеет место.
Вычислим коэффициент эксцесса по формуле 2.11:
Так как g2 = -0,26<0. Имеется небольшой эксцесс.
По несмещенным оценкам для показателей асимметрии и эксцесса.
Для этого необходимо определить несмещенные оценки для показателей асимметрии и эксцесса по формулам 4.2 и 4.3 соответственно:
Определим среднеквадратические отклонения для показателей асимметрии и эксцесса по формулам 4.4 и 4.5 соответственно:
Проверяем условия:
Условия выполняются, гипотеза нормальности распределения может быть принята.
По среднему абсолютному отклонению (САО)
Данные для вычисления САО приведены в таблице 4.3.
Таблица 4.3 - Данные для вычисления САО
№ |
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
1 |
181 |
10,05 |
10,05 |
101,00 |
11 |
172 |
1,05 |
1,05 |
1,10 |
2 |
159 |
-11,95 |
11,95 |
142,80 |
12 |
185 |
14,05 |
14,05 |
197,40 |
3 |
155 |
-15,95 |
15,95 |
254,40 |
13 |
174 |
3,05 |
3,05 |
9,30 |
4 |
175 |
4,05 |
4,05 |
16,04 |
14 |
180 |
9,05 |
9,05 |
81,90 |
5 |
163 |
-7,95 |
7,95 |
63,20 |
15 |
188 |
17,05 |
17,05 |
290,70 |
6 |
151 |
-19,95 |
19,95 |
398,00 |
16 |
161 |
-9,95 |
9,95 |
99,00 |
7 |
157 |
-13,95 |
13,95 |
194,60 |
17 |
198 |
27,05 |
27,05 |
731,70 |
8 |
177 |
6,05 |
6,05 |
36,60 |
18 |
168 |
-2,95 |
2,95 |
8,70 |
9 |
165 |
-5,95 |
5,95 |
35,40 |
19 |
169 |
-1,95 |
1,95 |
3,80 |
10 |
170 |
-0,95 |
0,95 |
0,90 |
20 |
171 |
0,05 |
0,05 |
0,0025 |
Сумма |
3419 |
|
183 |
2666,54 |
|||||
Вычислим среднее абсолютное отклонение (САО).
Проверяем
условие
,
условие выполняется, следовательно
гипотеза нормальности распределения
выборки принимается.
По размаху варьирования.
Вычислим
отношение
.
Критическая нижняя граница данного отношения при 10% уровне значимости равна 3,29
Критическая верхняя граница данного отношения при 10% уровне значимости равна 4,32
Сравниваем полученное значение отношения с критическими значениями верхней и нижней границ.
3,29<3,97< 4,32
Так как значение отношения больше нижней границы критического значения и меньше значения верхней границ, следовательно гипотеза нормальности распределения выборки по данному методу принимается.
По критерию χ2.
Проверку гипотезы нормальности распределения по критерию χ2 будем проводить для выборки представленной в таблице 4.1.
Разбиваем массив исходных данных (наблюдений) на классы по формуле 1.1.
Определим ширину класса по формуле (1.2). Результат вычисления округляем до ближайшего целого.
Определим середины классов x по формуле 1.4.
Подсчитаем частоты для всех классов В.
При этом значения хi попавшие на границу между (k-1) и k классами, будем относить к k-му классу.
Вычислим для всех классов Вх и Вх2. Расчеты представим в табличной форме (таблица 4.4)
Определим по формулам 4.10 - 4.11.
Вычислим
и
по формулам 4.12 – 4.13.
С помощью таблицы ординаты стандартной нормальной кривой сформируем вектор столбец f(z).
Вычислим для всех классов f(z)k, , и χ2 по формуле 4.14.
Проверяем, используя таблицу ( процентные точки распределения χ2) условие χ2< χ2(ν;p), где ν = nкл -1 -2; p=0,10.
χ2(1;0,12)=2,706
χ2 = 0,184 0,184<2,706
Условие выполняется, гипотеза о том, что наблюдаемые частоты распределены нормально принимается на 10%-ном уровне.
Таблица 4.4 – Процедура вычисления критерия χ2
№ класса |
Середины классов x |
Частоты В
|
х2 |
Вх |
Вх2 |
|
|
Ордината f(z) |
f(z)k’ |
Е |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
155 |
3 |
24025 |
465 |
72075 |
-16,4 |
1,47 |
0,1354 |
1,94 |
6,26 |
0,74 |
0,548 |
0,087 |
2 |
163 |
4 |
26569 |
652 |
106276 |
-8,4 |
0,75 |
0,3011 |
4,32 |
||||
3 |
171 |
6 |
29241 |
1026 |
175446 |
-0,4 |
0,04 |
0,3986 |
5,72 |
5,72 |
0,28 |
0,078 |
0,014 |
4 |
179 |
4 |
32041 |
716 |
128164 |
7,6 |
0,68 |
0,3166 |
4,54 |
4,54 |
-0,54 |
0,292 |
0,064 |
5 |
187 |
2 |
34969 |
374 |
69938 |
15,6 |
1,40 |
0,1497 |
2,15 |
2,77 |
0,23 |
0,053 |
0,019 |
6 |
195 |
1 |
38025 |
195 |
38025 |
23,6 |
2,11 |
0,0431 |
0,62 |
||||
∑ |
3428 |
589924 |
|
|
|
|
|
|
|
0,184 |
|||
