1.Графический метод решения задачи линейного программирования.

Итак, нахождение решения ЗЛП на основе ее геометрической интерпретации возможно, если она записана в виде, имеющем степень неопределенности р=2 (т.е. все переменные и функция цели могут быть выражены через две свободные) и процесс включает следующие этапы:

1.Строят прямые, уравнения которых получают в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Находят полуплоскости, отвечающие требованиям каждого из ограничений задачи.

3. Находят многоугольник решений (область допустимых решений).

4. На основании функции цели находят уравнение функции F0 и строят линию уровней, проходящую через начало координатной системы и отвечающую значению F0=0.

5. Перемещают линию уровней в направлении многоугольника области допустимых решений параллельно самой себе, в результате находят точку (точки), в которой функция цели принимает заданное экстремальное значение.

6. Определяют координаты точки экстремума (значений свободных переменных), по ним вычисляют параметры всего оптимального плана и затем экстремальное значение функции цели. Если после выполнения процедуры по п.3 получают незамкнутый много-

угольник, то такая задача решения не имеет.

2. Постановка задачи целочисленного линейного программирования

Среди практически важных задач отыскания условного экстремума линейной  функции особое место занимают задачи с требованием целочисленности всех (части) переменных. Задача называется полностью целочисленной, если условие целочисленности наложено на все переменные. Когда данное условие относится лишь к некоторым переменным,  задача называется частично-целочисленной. Если при этом целевая функция и функции, входящие в ограничения, ‑ линейные, то задача называется линейной целочисленной. Рассмотрим каноническую задачу целочисленного линейного программирования. Максимизировать функцию

 (13.4)

при условиях

(13.5)

                    (13.6)

         (13.7)

Если   , то задача  (13.4) – (13.7) – полностью   целочисленная,  если   – частично целочисленная задача линейного программирования.

Билет 10.

1. Существо и содержание симплекс-метода решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан математиком Джорджом Данцигом в 1947 году. Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях. Заметим, что каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным комплексом. Уравнение W(x) = c, где W(x) — максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от cпорождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку — требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено. Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы: нахождение исходной вершины множества допустимых решений, последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.При этом в некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, например, когда все ограничения представлены неравенствами вида «меньше или равно» (тогда нулевой вектор совершенно точно является допустимым решением, хотя и, скорее всего, далеко не самым оптимальным). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод, соответственно, делится на однофазный и двухфазный.