1. Многопараметрическая постановка и решение задачи оптимизации классическим способом

Классическая математическая постановка задачи отыскания экстремума функции от множества параметров является достаточно сложной и требует задания ограничений, Как правило ограничений неравенств. Тогда классическая математика предлагает решать такую задачу вычисляя значение функции во всех заданных точках изменения всех ее параметров, а затем по вычисленным значениям находить максимум или минимум. Вместе с тем имеется и ряд рекомендаций, которые позволяют упростить решение: например если ограничения являются строгими неравенствами, то точки экстремума нужно выбирать только те, которые находятся внутри Области Допустимых Решений. Если же хотя бы одно из неравенств превращается в равенство, то наоборот, внутренние точки можно не проверять, а проверять только граничные точки. Кроме того одним из путей решения такой задачи, как и в первом случае является поиск и сравнивание с 0 частных производных этих функций по всем параметрам. В том случае если функция является дифференцируемой в исследуемой области изменения параметров. Для так функций экстремум достигается во внутренней области и все частные производные обращаются в 0. Это будет характерно только для внутренних точек. Для граничных точек это условие выполняется не всегда. Следовательно по классическому методу необходимо вычислить точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений. И тогда можно будет утверждать, что эти точки лежат внутри ОДР. Такое условие является необходимым. Достаточность условий может проверяться только вычислением значений в этих точках. Учитывая эти особенности много параметрических задач классически методы применяются только для оптимизации технических систем. При исследовании же систем организационного типа приходится применять другие методы, базирующиеся на методах программирования.

2.Существо и содержание метода множителей Лагранжа

Из анализа предыдущей задачи следует, что в общем случае даже при не очень сложных ЦФ подбор значений h и получение гиперповерхности представляет серьезную проблему, поэтому разработаны ряд методов, которые позволяют получать точные решения в отдельных частных случаях задач нелинейного программирования. Пусть задача нелинейного программирования формулируется в условиях Дерихле, т.е. ЦФ как минимум дважды дифференцируема, функции ограничения являются равенствами, свободные члены положительны и все функции в ОДР непрерывны, то в такой задаче можно получить решение специально разработанным методом – метод множителей Лагранжа. Существо этого метода во многом повторяет существо классического метода оптимизации, поэтому говорят, что метод множителей Лагранжа является одним из методов классической оптимизации.

Применение метода обусловлено тем что в задачах оптимизации как правило число уравнений системы m значительно меньше чем число неизвестных переменных n, что и требует введения дополнительных переменных, которые и называются множители Лагранжа. При этом надо понимать, что этот метод позволяет получить в своем базовом варианте только точки условного экстремума.

Последовательность применения метода может быть записана:

1. Составить функцию Лагранжа.

2. Для всех переменных в первую очередь неизвестных и для всех вновь введенных переменных – множители Лагранжа - найти частные производные по всем x и , и приравнять их к 0.

3. Решить систему полученных уравнений частных производных, при этом будут получены точки подозрительные на экстремум.

4. Проанализировать все полученные точки подозрительные на экстремум, выделить из них те в которых действительно есть экстремум, расчитать значение ЦФ в этих точках и выделить наибольшее или наименьшее значение.

Формула Лагранжа в общем виде:

Дальше необходимо взять частные производные и приравнять их к 0:

И решить эту систему.

Таким образом от системы уравнений из m уравнений с n неизвестными к системе уравнений с n+m переменными, мы получаем возможность решил этой системы классическим методом в условиях ограничения.

Решение этой новой системы позволяет получить точки подозрительные на экстремум, которые в дальнейшем должны быть проанализированы обычным классическим методом.

Задача:

Вычислить условный экстремум функции , при ограничении .

При использовании метода множителей Лагранжа уравнение ограничения называется уравнением связи.

Анацизируя ЦФ и уравнения связи можно отметить следующее: уравнение связи является линейным, свободный член является положительным, ЦФ является нелинейной, но с точки зрения математики она непрерывна и имеет первую и вторую производные, т.е. удовлетворяет условиям Дирихле. Исходя из этого данную задачу можно решить методом множителей Лагранжа.

1. Решая эту задачу составим функцию Лагранжа:

2. 

3. 

4. 

Обе частные производные больше 0, значит, в этой точке имеем минимум.

Билет 7=Билет 19.