Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами.

Кинематическое исследование механизмов методом построения планов скоростей и ускорений позволяет определить с достаточной точностью величину и характер изменения кинематических параметров механизма. Однако построение планов скоростей и ускорений для нескольких положений механизма за весь цикл значительно увеличивает объем проводимой работы, особенно для сложных механизмов. Кроме того, при этом методе значительно усложняется процесс оптимизации кинематических параметров. Из-за необходимости многократных построений планов скоростей и ускорений. При использовании вычислительной техники для кинематического исследование механизмов необходимо иметь аналитические зависимости искомых параметров, позволяющие определять их за весь цикл в соответствии с изменениям обобщенных координат.

Одним из методов аналитического исследования кинематики механизмов является метод замкнутых векторных контуров, предложенный В.А. Зиновьевым [ ].

(рис.12)

При кинематическом исследовании механизмов этим методом каждое звено механизма представляется в виде вектора определенного направления. Рассмотрим этот метод на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.12), в котором кривошип ОА является вектором , а шатун АВ вектором . Положение точки B в системе координат xoy обозначено вектором Условие замкнутости векторов при принятом направлении векторов и :

(1)

Углы и соответственно определяют положение векторов и в выбранной системе координат. Спроектируем эти векторы на оси координат:

(2)

(3)

Одной из основных задач в данном случае является нахождение функции изменения кинематических параметров механизма при изменении обобщенной координаты .

Как следует из уравнения (3):

(4)

Обозначим - параметр механизма, который в кривошипно-ползунных механизмов транспортных машин изменяется в пределах

и определяет их габариты. С учетом формула (4) примет вид:

(5)

Продифференцируем уравнение (3) по времени при условии .

(6)

Из уравнения (6) определим угловую скорость шатуна:

(7)

Для определения углового ускорения шатуна продифференцируем уравнение (6):

0

Откуда следует

(8)

Направление угловых скоростей и ускорений определяется по соответствии их знака принятому положительному направлению отсчета углов и .

В соответствии с (5) формулу (2) представим в виде:

Чтобы избавиться от радикала разложим его в бесконечный ряд Маклорена:

Этот ряд быстро сходится и для практических расчетов при достаточно использовать два первых члена. Величина третьего члена при и составляет или 0,05% от единицы.

Таким образом, положение точки B можно приближенно, но с достаточной степенью точности определить по формуле:

(9)

Продифференцировав дважды уравнение (9) получим также приближенные формулы для определения скорости точки B.

(10)

и соответственно ускорение:

(11) Точное значения ускорения представляется в виде бесконечного тригонометрического ряда:

а

коэффициенты, которого определяются в зависимости от величины . В частности, при коэффициент ,254, т.е. незначительно отличается от . Для других значений параметра коэффициенты также незначительно отличаются от его величины, что потверждает возможность использования формул (10) и (11) при различных .

Определим экстремальные значения ускорения точки B. Для этого продифференцируем уравнение (11) по независимому переменному и приравняем его к нулю.

(12)

Уравнение (12) дает возможность определить угол , при котором имее

Учитывая, что не равно нулю, и заменив его значениями после преобразования получим:

откуда (13)

(14)

Из уравнения (13) получим значения угла и .

При этих значениях угла имеют место два вида уравнений, определяющих экстремальные значения ускорения :

при ;

Уравнение (14) добавляет еще два дополнительных экстремальных значения в соответствии с формулой:

Так как , то это уравнение справедливо, если . При этом значении получается два угла (во второй третьей четвертях), при которых ускорение имеет экстремальные значения.

Характер изменения ускорения в зависимости от угла для разных значений параметра показан на (рис.13).

При кинематическом исследовании сложного механизма (см.рис.1), состоящего в общем из двух кривошипно-ползунных механизмов с одним кривошипом, необходимо составить расчетную схему, которая будет зависеть от расположения выбранной системы координат.