Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі

2.1. Завдання обов'язкового рівня

41. а) Дві прямі а і b паралельні прямій с. Яке взаємне розміщення прямих а і b ?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні.

б) Через три точки проведені дві різні площини. Як розміщені ці точки?

А) лежать на одній прямій; Б) не лежать на одній прямій.

42. а) Прямі а, b і с попарно перетинаються. Скільки різних площин можна провести через ці прямі?

А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної; Д) інша відповідь.

б) Дано дві прямі а і b, що перетинаються. Через точку А, яка лежить на прямій а, проведена пряма с паралельно прямій b. Скільки різних площин можна провести через ці прямі?

А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної; Д) інша відповідь.

43. а) Скільки всього різних площин можна провести через три точки, якщо вони лежать на одній прямій?

А) одну; Б) дві; В) нескінченну кількість.

б) Скільки різних площин можна провести через пряму?

А) дві; Б) одну; В) нескінченну кількість.

44. а) Сторона АВ паралелограма ABCD лежить на площині α, а сторона CD не лежить на ній. Як розміщена пряма CD відносно площини α?

А) перетинає площину; Б) лежить на площині;

В) паралельна до площини; Г) перпендикулярна до площини.

б) Прямокутник ABCD і трапеція ADMN (AD — основа трапеції) не лежать в одній площині. Як розміщені прямі MN і ВС ?

1. прямі мимобіжні; Б) прямі паралельні; В) прямі перетинаються.

45. а) У просторі дано пряму а і точку М. Скільки існує різних прямих, які проходять через М і паралельні а?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної, або одна; Д) одна або безліч.

б) Дано площину α і точку М поза нею. Скільки всього існує різних прямих, які проходять через М і паралельні площині α?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) інша відповідь; Д) одна або безліч.

46. а) Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих АВ і CD?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) лежать в одній площині.

б) Дві вершини і точка перетину діагоналей паралелограма лежать у площині α. Яке взаємне розміщення двох інших вершин паралелограма відносно площини α?

А) одна лежить, а інша не лежить у площині;

Б) обидві лежать в площині або обидві не лежать у площині.

47. а) Точка S знаходиться поза площиною трикутника ABC. Точки А₁, В₁, С₁ відповідно є серединами відрізків SA, SB, SC. Визначте взаємне розміщення площин ABC і А₁В₁С₁.

А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.

б) У тетраедрі SKMN F — середина MN, Р — середина SN, О — середина KN. Визначте взаємне розміщення площин KSM і OPF.

А) перетинаються; Б) паралельні; В) співпадають.

48. а) Пряма а не лежить у площині α. Скільки всього різних прямих, які мимобіжні з прямою а, проходить через точку, взяту в площині α?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч.

б) Три вершини паралелограма лежать у площині α. Як розміщена четверта вершина паралелограма відносно площини α?

А) лежить у площині α; Б) не лежить у площині α.

49. а) Діагональ і сторона трапеції паралельні площині α. Як розміщені площина α і площина, в якій лежить трапеція?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) співпадають.

б) Дано дві мимобіжні прямі а і b. Точки А і В лежать на прямій а, точки С і D — на прямій b. Яке взаємне розміщення прямих АС і BD?

А) паралельні; Б) мимобіжні; В) перетинаються.

50. а) Дано дві мимобіжні прямі а і b. Скільки всього існує різних площин, які проходять через а і паралельні прямій b?

А) дві; Б) одна; В) жодної; Г) безліч; Д) жодної або безліч.

б) Дано дві площини α і β, які перетинаються. Точка М не належить жодній із них. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельні α і β?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або одна; Д) жодної або безліч.

51. а) Пряма а паралельна прямій b, а пряма b перетинається з площиною α. Яке взаємне розміщення прямої а і площини α?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.

б) Площина α паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині γ, відмінної від α. Яке взаємне розміщення площин α і γ?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.

52. а) Площини α і β перетинаються по прямій с. У площині α проведено пряму а, яка паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення прямої а і площини β?

А) пряма а перетинає площину β; Б) пряма а лежить у площині β;

В) пряма а паралельна площині β.

б) Трикутники ABC і ABD лежать у різних площинах. Точки М і N — середини сторін АС і ВС трикутника ABC. Яке взаємне розміщення прямої MN і площини трикутника ABD?

А) пряма MN паралельна площині ABD; Б) пряма MN перетинає площину ABD.

53. а) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?

А) одна; Б) безліч; В) дві; Г) одна або безліч.

б) Дано площину α і пряму а, яка їй не належить. Скільки всього існує різних площин, які проходять через а і паралельні площині α?

А) безліч; Б) дві; В) одна або жодної.

54. а) Дано дві паралельні площини α і β. Точка М не лежить ні на одній із них. Скільки всього існує прямих, які проходять через М і паралельні площині α і β?

А) одна; Б) дві; В) безліч.

б) Відомо, що пряма а паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині γ. Яке взаємне розміщення прямої а і площини γ?

А) паралельні; Б) перетинаються; В) інша відповідь.

55. а) Відомо, що пряма а перпендикулярна до площини β, а площина β паралельна до прямої с. Яке взаємне розміщення прямих а і с?

А) перпендикулярні; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) інша відповідь.

б) Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої b, а пряма b паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення прямих а і с?

А) паралельні; Б) мимобіжні; В) перпендикулярні; Г) інша відповідь.

56. а) Вкажіть, яким граням куба АВСDA₁B₁C₁D₁ паралельна пряма A₁B₁?

A) ABCD; DD₁C₁C; Б) AA₁DD₁; BB₁CC₁; В) B₁C₁D₁A₁; ADD₁A₁.

б) Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁.Точки М і К — середини відрізків АВ₁ і B₁C. Як розміщена пряма МК відносно площини грані ABCD?

А) перетинає грань; Б) перпендикулярна до грані;

В) паралельна грані; Г) лежить у площині грані.

57. а) Дано пряму а і точку М. Скільки існує різних прямих, які проходять через М, перетинають пряму а і перпендикулярні до неї?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або безліч.

б) Дані точка М і площина α. Скільки існує площин, які проходять через М і перпендикулярні до α?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або жодної.

58. а) Пряма MB перпендикулярна до сторін АВ і ВС трикутника ABC. Яким є трикутник MBD, де D — довільна точка сторони АС?

А) прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.

б) Пряма КО перпендикулярна до діагоналей АС і BD квадрата ABCD, які перетинаються в точці О. Яким є трикутник КОМ, де М — довільна точка АВ?

А) гострокутний; Б) прямокутний; В) тупокутний.

59. а) Площина α перпендикулярна до прямої b, а пряма b паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення площини α і прямої с?

А) паралельні; Б) перпендикулярні;

В) інша відповідь; Г) паралельні або перетинаються.

б) Площина α паралельна прямій b, а пряма b перпендикулярна до площини φ. Яке взаємне розміщення площин α і φ?

А) паралельні; Б) перпендикулярні;

В) інша відповідь; Г) паралельні або перетинаються.

60. а) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB. Точка S сполучена з вершиною квадрата. Визначте, яким є трикутник SAD.

А) прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.

б) Дано прямокутний трикутник ABC з прямим кутом С. ВМ — перпендикуляр до площини трикутника ABC. Визначте, яким є трикутник МАС.

А) тупокутний; Б) прямокутний; В) гострокутний.

61. а) Кут ABC — лінійний кут двогранного кута з ребром т. Яке взаємне розміщення прямої m і площини ABC?

А) пряма і площина паралельні; Б) пряма і площина перпендикулярні;

В) пряма т лежить у площині.

б) Кут MKN — лінійний кут двогранного кута з peбром с. Яке взаємне розміщення площини MKN і прямої с?

А) пряма лежить у площині; Б) паралельна площині;

В) пряма перпендикулярна до площини.

62. а) Відомо, що площина α перпендикулярна до прямої b, а пряма b перпендикулярна до площини γ. Яке взаємне розміщення площин α і γ?

А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.

б) Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої b, а пряма b перпендикулярна до площини φ. Яке взаємне розміщення прямої а і площини φ?

А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь.

63. а) Дано три різні площини α, β і φ. Відомо, що α перпендикулярна до β, а β перпендикулярна до φ. Яке взаємне розміщення площин α і φ?

А) перпендикулярні; Б) паралельні; В) інша відповідь.

б) Прямі а і b перпендикулярні до площини α. Яке взаємне розміщення прямих?

А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) мимобіжні.

64. а) Кінці ребер куба, які виходять із одної вершини, сполучено відрізками. Площа трикутника, який утворився при цьому, дорівнює см². Знайдіть довжину ребра куба.

А) 2 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) інша відповідь.

б) Із точки поза даною площиною проведено до неї перпендикуляр довжиною 6 см і похилу довжиною 9 см. Знайдіть довжину проекції перпендикуляра на похилу.

А) 3 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) інша відповідь.

65. а) Із точки А до площини проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою і площиною 60°. Знайдіть довжину перпендикуляра.

А) 10 см; Б) 10 см; В) 10 cм; Г) см; Д) інша відповідь.

б) Із точки М до площини проведено перпендикуляр і похилу, кут між якими 60°. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра 20 см.

A) 20 см; Б) 10 см; В) 20 см; Г) 40 см; Д) інша відповідь.

66. а) Двогранний кут дорівнює 45⁰. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 3 см від другої грані. Знайдіть відстань від цієї точки до ребра кута.

A) 8 см; Б) 4 см; В) 8 см; Г) 4 см; Д) інша відповідь.

б) Точка, взята на одній із граней двогранного кута, знаходиться від ребра на відстані більшій, ніж від другої грані. Знайдіть величину двогранного кута.

А) 90°; Б) 45°; В) 60°; Г) 30°; Д) інша відповідь.

67. а.) Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.

А) 8 см; Б) 11 см; В) 12 см; Г) 14 см; Д) 15 см.

б) Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 5 см. Знайти відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 6 см.

А) 3 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) 5 см; Д) 8 см.

68. а) Точка О — центр квадрата зі стороною 4 см. АО — пряма, що перпендикулярна до площини квадрата; АО = 2 см. Знайдіть відстань від точки А до вершин квадрата.

А) 4 см; Б) 4 см; В) 8 см; Г) інша відповідь.

б) Точка О — центр квадрата ABCD. ОМ — перпендикуляр до площини ABCD. АВ = 8 см. Пряма МА нахилена до площини квадрата під кутом 60°. Знайдіть відстань між точками М і В.

А) 2 см; Б) 8 см; В) 4 см; Г) інша відповідь.

69. а) Сторони трикутника ABC дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр AD, який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС трикутника.

A) см; Б) 17 см; В) інша відповідь.

б) ABCD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини прямокутника, MCA = 60°, DC = 3 см, СВ = 4 см. Знайдіть площу трикутника МВС.

A) 4 см²; Б) 8 см²; В) інша відповідь.

70. а) Точка О — центр правильного трикутника ABC. ОМ — перпендикуляр до площини ABC і ОМ = см, АВ = 3 см. Знайдіть кут нахилу МА до площини трикутника ABC.

А) 60°; Б) 30°; В) 45°; Г) інша відповідь.

б) ABCD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини ABCD, DC = см, СВ = 1 см, MCA = 30°. Знайдіть МА.

А) 1 см; Б) см; В) см; Г) інша відповідь.

71. а) Дано трикутник ABC. Площина α, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС в точці К, а сторону ВС — у точці М. Знайдіть АВ, якщо КС = 12 см, АС = 18 см, KM = 36 см.

А) 24 см; Б) 54 см; В) 18 см; Г) інша відповідь.

б) Дві паралельні площини α і β перетинають сторону ВА кута ABC в точках D і D₁, а сторону ВС відповідно в точках Е і Е₁. Знайдіть довжину DE, якщо BD = 12 см, BD_l = 18 см, D₁E₁ = 54 см.

А) 36 см; Б) 24 см; В) 18 см; Г) інша відповідь.

72. а) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр DM. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть довжину проекції похилої MB.

А) 5 см; Б) 5 см; В) 7 см; Г) інша відповідь.

б) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр DM довжиною 12 см. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть довжини похилих МА і МС.

А) 15 см; Б) 13 см; В) 12 см; Г) інша відповідь.