1.2. Завдання підвищеного рівня

22. а) Дано паралелепіпед ABCDA_lB₁C₁D₁. Вкажіть вектор, що дорівнює сумі .

б) Дано паралелепіпед ABCDA_lB₁C₁D₁. Вкажіть вектор, що дорівнює сумі .

23. а) Обчисліть довжину вектора , якщо (1; 1; -1), (2; 0; 0).

б) Обчисліть довжину вектора , якщо (3; 1; 0), (0; 1; -1).

24. а) При яких значеннях т і n вектори (-1; 4; -2) і (-3; m; n ) колінеарні?

б) Вектори (п ; -2; 1) і ( п; 1; -n) перпендикулярні. Знайдіть п.

25. а) Перевірте колінеарність векторів (3; -1; 2) і (-9; 3; -6). Встановіть:

1) який із них довший і в скільки разів,

2) як вони напрямлені — однаково чи протилежно?

б) Дано точки A (5; -4; 2), B (5; -7; 8), С (2; 2; -7), D (-1; 5; -10). Покажіть, що вектори і колінеарні; встановіть, як вони напрямлені — однаково чи протилежно.

26. а) Точки A (3; 1; 8), B (4; 7; 1), С (3; 5; -8) — вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини D.

б) Точки A (4; 2; -1), С (-4; 2; 1), D (7; -3; 4) — вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини В.

27. а) Кінці відрізка A (5; -2; 1) і B (5; 3; 6). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини хz.

б) Кінці відрізка A (7; -3; 4) і B (6; 7; 8). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини ху.

28. а) Дано точки A (1; 4; 8) і B (-4; 0; 3). Під яким кутом відрізок АВ видно із початку координат?

б) Дано точки A (2; -4; 6) і B (4; 4; 2). Під яким кутом видно відрізок МB із початку координат, якщо М — середина відрізка АВ?

29. а) Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (8; 4; 1) і (2; -2; 1).

б) Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (3; 0; -4) і (0; 5; 0).

30. а) Обчисліть площу трикутника ABC, якщо A (9; 0; 2); B (6; 0; -2); С (0; 3; 0).

б) Обчисліть площу паралелограма ABCD, якщо координати трьох його вершин: A (9; 0; 2), B (6; 0; -2), С (0; 3; 0).

31. а) Знайдіть довжину діагоналі BD паралелограма ABCD, якщо А (1; -3; 0), В (-2; 4; 1), С (-3;1;1).

б) Знайдіть довжину діагоналі АС, паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D (0; -12; 0).

32. а) Знайдіть довжину медіани ВВ₁ трикутника з вершинами А (4; 0; -8), В (2; 0; 3), С (16; 2; 8).

б) Дано вершини трикутника ABC: А (-2; 0; 1), В (8; -4; 9), С (-1; 2; 3). Знайдіть довжину медіани, проведеної з вершини С.

33. а) Доведіть, що трикутник з вершинами А (7; 1; -5), В (4; -3; -4), С (1; 3; -2) — рівнобедрений.

б) Доведіть, що трикутник з вершинами А (3; -2; 1), В (-2; 1; 3), С (1; 3; -2) — рівносторонній.

34. Дано три точки А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0):

а) обчисліть косинус кута С трикутника ABC;

б) обчисліть косинус кута А трикутника ABC.

35. а) Дано чотири точки А (0; 1; 1), В (1; 1; 2), С (2; -2; 2) і D (2; -3; 1). Знайдіть кут між векторами і .

б) Дано точки А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0), D (2; 1; 1). Знайдіть кут між векторами і .

1.3. Завдання поглибленого рівня

36. а) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками С (2; 0; 2) і D (5; -2; 0) поділено на три рівні частини.

б) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками С (3; 4; 3) і D (2; 5; 4) поділено на три рівні частини.

37. а) Доведіть, що точки A (2; 4; -4), B (1; 1; -3), С (-2; 0; 5), D (-1; 3; 4) є вершинами паралелограма ABCD.

б) Доведіть, що точки A (-4; -8; 8), B (-2; -2; 6), С (4; 0; -10), D (2; -6; -8) є вершинами паралелограма ABCD.

38. Доведіть, що чотирикутник ABCD є ромбом, коли:

а) A (6; 7; 8), B (8; 2; 6), С (4; 3; 2), D (2; 8; 4);

б) А (0; 2; 0); В (1; 0; 0), С (2; 0; 2), D (l; 2; 2).

39. а) Доведіть, що трикутник з вершинами А (1; 0; 1), В (1; 1; 0) і С (1; 1; 1) — прямокутний. Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.

б) Доведіть, що трикутник з вершинами А (2; 0; 5), В (3; 4; 0) і С (2; 4; 0) прямокутний. Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.

40. Дано трикутник ABC. Знайдіть:

а) зовнішній кут при вершині В, якщо В (2; -1; -1), А (2; 2; -4) і С (3; -1; -2);

б) зовнішній кут при вершині А, якщо А (2; -2; -3), В (4; -2; -1) і С (2; 2; 1).

Т Е М А 2