5.2. Завдання підвищеного рівня

355. а) У циліндрі на відстані 8 см від його осі і паралельно до неї проведено переріз, діагональ якого дорівнює 13 см. Обчисліть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см.

б) У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого дорівнює 17 см. Висота циліндра — 15 см, а радіус основи — 5 см. На якій відстані від осі проведено цей переріз?

356. а) У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого утворює з площиною нижньої основи кут φ. Цей переріз перетинає основу по хорді, яка стягує дугу α. Визначте бічну поверхню циліндра, якщо радіус його основи дорівнює R.

б) У нижній основі циліндра проведена хорда, довжина якої дорівнює а. Ця хорда стягує дугу α. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з серединою проведеної хорди, утворює з площиною основи кут φ. Визначте бічну поверхню циліндра.

357. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом α. Діагональ утвореного перерізу дорівнює b і нахилена до основи під кутом β. Визначте об'єм циліндра.

б) У циліндрі відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, нахилений до основи під кутом α. Визначте об'єм циліндра, якщо відстань від центра нижньої основи до середини цього відрізка дорівнює а.

358. а) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює половині площі його повної поверхні. Знаючи, що діагональ осьового перерізу дорівнює 5 см, знайдіть повну поверхню циліндра.

б) Два циліндри мають однакові основи. Об'єм першого циліндра дорівнює 7,5 дм³, а його висота— 21 см. Висота другого циліндра дорівнює 7 см. Чому дорівнює об'єм другого циліндра?

359. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, яка перетинає основу по хордам, які стягують дуги α. Визначте площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр верхньої основи з серединою хорди нижньої основи, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β.

б) У циліндрі з основою радіуса R паралельно до його осі проведено площину. Вона перетинає нижню основу по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом 2α. Відрізок, який з'єднує центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи утворює з площиною основи кут β. Визначте площу перерізу.

360. а) У нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої основи. Її видно із цього центра під кутом β. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

б) У нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані d від центра верхньої основи. Із центра нижньої основи її видно під кутом φ. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з нижньою основою кут α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

361. а) Циліндр перетнуто площиною, паралельною осі так, що в перерізі утворився квадрат з діагоналлю — a см. Переріз відтинає від кола основи дугу в 60°. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

б) Циліндр перетнуто площиною, паралельною осі. Діагональ перерізу вдвічі більша від радіуса основи, що дорівнює R. Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо переріз відтинає від кола основи його чверть.

362. а) Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть об'єм циліндра, якщо периметр осьового перерізу дорівнює Р.

б) Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом α. Периметр перерізу дорівнює Р. Знайдіть об'єм циліндра.

363. а) В основі циліндра проведено хорду, що стягує дугу α. Відрізок, який сполучає центр іншої основи з серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Визначте об'єм циліндра.

б) В основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відстань від центра до хорди дорівнює d. Відрізок, який сполучає центр однієї основи з точкою кола іншої основи, утворює з площиною основи кут α. Визначте об'єм циліндра.

364. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка перетинає основу по хорді, що стягує дугу β. Визначте площу бічної поверхні циліндра, якщо діагональ перерізу дорівнює а і утворює з площиною основи кут α.

б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка перетинає основу по хорді, довжина якої а. Ця хорда стягує дугу α. Визначте об'єм циліндра, якщо діагональ утвореного перерізу нахилена до основи під кутом β.

365. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, що відтинає від кола основи дугу α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до основи під кутом β. Визначте площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.

б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу β. Відрізок, який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, дорівнює а і утворює з площиною основи кут α. Визначте площу перерізу.

366. а) Паралельно осі циліндра, на відстані d від неї, проведено площину, яка відтинає від основи дугу β. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом α. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу α. Діагональ утвореного перерізу дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом β. Визначте об’єм циліндра.

367. а) Паралельно осі циліндра проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яка стягує дугу 2α. Діагональ перерізу утворює з площиною основи кут β, а його площа дорівнює S. Визначте площу основи циліндра.

б) Паралельно осі циліндра, бічна поверхня якого дорівнює Q, проведено площину. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом β. Визначте площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, утворює з площиною основи кут α.

368. а) У циліндрі паралельно осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом α. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо площа перерізу дорівнює Q, а кут між його діагоналлю і твірною циліндра дорівнює β.

б) У циліндрі паралельно осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут α. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо площа перерізу S.

369. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом 2α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо діагональ утвореного перерізу дорівнює т і нахилена до площини основи циліндра під кутом β.

б) Довжина хорди нижньої основи циліндра, яку видно із центра цієї основи під кутом 2α, дорівнює b. Відрізок, який сполучає середину цієї хорди з центром верхньої основи, утворює з площиною основи кут β. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

370. а) У циліндрі, паралельно його осі, проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом 2α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи циліндра під кутом β. Визначте об'єм циліндра, якщо площа перерізу дорівнює Q.

б) Паралельно осі циліндра проведено площину, що відтинає від кола основи дугу 2β. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи циліндра під кутом α. Визначте площу перерізу, якщо об'єм циліндра дорівнює V.

371. а) Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник, периметр якого дорівнює 16 (2 + ) см. Знайдіть площу повної поверхні цього конуса.

б) Хорда в основі конуса дорівнює т і її видно з центра основи під кутом β. Знайдіть висоту конуса, якщо його твірна нахилена до основи під кутом α.

372. а) Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 2β. Периметр осьового перерізу 2р. Знайдіть висоту конуса.

б) Висота конуса дорівнює h. Кут при вершині осьового перерізу 2α. Знайдіть периметр осьового перерізу.

373. а) В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом α, а із вершини конуса — під кутом φ. Визначте бічну поверхню конуса, якщо його радіус дорівнює R.

б) В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом α, а із вершини конуса — під кутом φ. Визначте бічну поверхню конуса, якщо відрізок, який сполучає вершину конуса з серединою цієї хорди, дорівнює l.

374. а) Із центра основи конуса до твірної проведено перпендикуляр, який утворює з висотою кут β. Твірна конуса дорівнює l. Визначте об'єм конуса.

б) Хорда основи конуса дорівнює а і стягує дугу α. Відрізок, який сполучає вершину конуса із серединою хорди нахилений до основи під кутом φ. Визначте об'єм конуса.

375. а) Через вершину конуса з основою радіуса R, проведено площину, що перетинає його основу по хорді, яку видно із центра основи під кутом α, а з вершини — під кутом β. Визначте площу перерізу.

б) Через дві твірні конуса, кут між якими β, проведено площину. Площа бічної поверхні конуса дорівнює S. Визначте площу перерізу, якщо твірна конуса утворює з висотою кут α.

376. а) Через вершину конуса проведено площину під кутом 45° до площини основи. Ця площина перетинає основу по хорді, відстань до якої від вершини 6 см. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина радіуса — 5 см.

б) Через дві твірні конуса проведено площину, яка перетинає основу по хорді довжиною 8 см. Ця площина утворює з основою кут 60°. Обчисліть об'єм конуса, якщо радіус основи дорівнює 5 см.

377. а) Твірна зрізаного конуса нахилена до площини більшої основи під кутом α. Радіуси основ R і r ( R > r). Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.

б) Твірна зрізаного конуса нахилена до площини більшої основи під кутом α. Знайдіть об'єм конуса, якщо радіуси основ R і r ( R > r ).

378. а) Радіуси основ зрізаного конуса R і r, де R > r, а твірна утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.

б) Твірна зрізаного конуса утворює з площиною основи кут 60°, радіуси основ R і r, де R > r. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.

379. а) У зрізаному конусі діагоналі осьового перерізу взаємно перпендикулярні, а твірна l утворює з площиною більшої основи кут φ. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

б) У зрізаному конусі висота дорівнює h. Твірна нахилена до площини більшої основи під кутом α і перпендикулярна до діагоналі осьового перерізу. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.

380. а) Твірна зрізаного конуса дорівнює 5 см, а радіуси основ — 3 см і 6 см. Знайдіть площу осьового перерізу.

б) Радіуси основ зрізаного конуса — 3 дм і 7 дм, твірна — 5 дм. Знайдіть площу осьового перерізу.

381. а) Площі основ зрізаного конуса — 4 м² і 16 м². Через середину висоти проведено площину паралельно основі. Знайдіть площу перерізу.

б) Площі основ зрізаного конуса М і т. Знайдіть площу середнього перерізу, паралельного основі.

382. а) Радіуси основ зрізаного конуса — 11 см і 16 см, твірна — 13 см. Знайдіть відстань від центра меншої основи до точки кола більшої.

б) Твірна зрізаного конуса дорівнює 2а і нахилена до основи під кутом 60°. Радіус однієї основи вдвічі більший від радіуса другої основи. Знайдіть кожен із радіусів.

383. а) Через вершину конуса проведено площину перерізу під кутом 45° до основи. Ця площина перетинає основу по хорді, яку видно із центра основи під кутом 60°. Знайдіть об'єм конуса, якщо відстань від центра основи до хорди дорівнює 6 см.

б) Через вершину конуса проведено площину під кутом 45° до основи. Площина перетинає основу по хорді, що дорівнює радіусу основи конуса. Визначте об'єм конуса, якщо відстань від його вершини до хорди дорівнює 6 см.

384. а) Визначте об'єм конуса, якщо в його основі хорда а стягує дугу α, а кут між твірною і висотою конуса дорівнює β.

б) Кут між твірною і основою конуса дорівнює α, хорду основи видно із його вершини під кутом β. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина хорди дорівнює т.

385. а) Твірна конуса утворює з його основою кут 30°. Визначте об'єм конуса, якщо площа перерізу, що проходить через твірні, кут між якими 120°, дорівнює 4 см².

б) Площина перерізу, що проходить через вершину конуса, перетинає його основу по хорді. Твірна конуса утворює з хордою кут 30°, а з висотою конуса кут 60°. Знайдіть об'єм конуса, якщо площа перерізу дорівнює 16 см².

386. а) Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює β, проведено переріз, який перетинає основу по хорді довжиною а. Знайдіть об'єм конуса, якщо твірна нахилена до площини його основи під кутом α.

б) Площина перерізу, що проходить через вершину конуса, перетинає його основу по хорді. Твірна конуса утворює з хордою кут, що дорівнює α, а з висотою конуса — γ. Знайдіть об'єм конуса, якщо площа перерізу дорівнює М.

387. а) Через вершину конуса проведено площину, яка перетинає основу конуса по хорді. Цю хорду видно із центра основи під кутом 60°. Відстань від центра основи до середини висоти перерізу дорівнює 4 см. Знайдіть, під яким кутом площина перерізу нахилена до площини основи, якщо радіус основи конуса дорівнює 8 см.

б) Через дві твірні конуса проведено площину, яка перетинає основу конуса по хорді довжиною 8 см. Хорда відтинає від кола основи дугу в 60°. Площа утвореного перерізу дорівнює 32 см². Обчисліть кут між площиною перерізу і площиною основи конуса.

388. а) У конусі з центру основи до твірної проведено перпендикуляр, який нахилений до площини основи під кутом α. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина перпендикуляра дорівнює а.

б) Відрізок, який сполучає центр основи конуса з серединою твірної, нахилений до площини основи під кутом α. Довжина цього відрізка дорівнює т. Знайдіть повну поверхню конуса.

389. а) Площа бічної поверхні конуса втричі більша від площі основи. Знайдіть об'єм конуса, якщо радіус основи 2 см.

б) Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Знайдіть діаметр основи, якщо площа повної поверхні конуса дорівнює 363 π см².

390. а) Через вершину конуса проведено площину, що перетинає основу по хорді, яка стягує дугу в 90°. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо його твірна дорівнює l, а кут у перерізі при вершині конуса дорівнює 60°.

б) Через вершину конуса проведено площину, що відтинає від кола основи його чверть. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо радіус основи дорівнює R, а кут у перерізі при вершині конуса дорівнює 60°.

391. а) Переріз кулі площиною, що знаходиться на відстані 12 см від її центра, має площу 25 π см². Визначте площу поверхні кулі.

б) Площина перетинає сферу. Діаметр сфери, проведений в одну із точок перерізу, має довжину 4 дм і утворює з площиною кут 45°. Знайдіть довжину лінії перетину.

392. а) Лінія перетину сфери і площини, віддаленої від центра сфери на 8 см, має довжину 12 π см. Знайдіть площу поверхні сфери.

б) Площина перетинає кулю. Діаметр, проведений в одну із точок лінії перетину, утворює з площиною кут 45°. Знайдіть площу перерізу, якщо діаметр кулі дорівнює 4 см.

393.а) Радіуси двох куль — 25 дм і 29 дм, а відстань між їх центрами — 36 дм. Визначте довжину лінії, по якій перетинаються їх поверхні.

б) Радіуси двох куль дорівнюють 13 см і 15 см, а відстань між їх центрами — 14 см. Знайдіть довжину лінії, по якій перетинаються їх поверхні.

394. а) Сторони трикутника 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть відстань від площини трикутника до центра кулі, яка дотикається до всіх сторін трикутника. Радіус кулі — 5 см.

б) Діагоналі ромба — 15 см і 20 см. Куля дотикається до всіх його сторін. Радіус кулі – 10 см. Знайдіть відстань від площини ромба до центра кулі.

395. а) Визначте об'єм меншого кульового сектора кулі, якщо радіус його основи дорівнює 60 см, а радіус кулі — 75 см.

б) Знайдіть об'єм меншого кульового сегмента, якщо радіус кола його основи дорівнює 20 см, а радіус кулі дорівнює 25 см.

396. а) Радіус кулі дорівнює R. Визначте об'єм кульового сектора, якщо дуга в осьовому перерізі сектора дорівнює 90°.

б) Радіус кулі дорівнює R. Визначте об'єм кульового сектора, якщо дуга в осьовому перерізі сектора дорівнює 60°.

397. а) Радіус кулі дорівнює R, а діаметр її перерізу площиною — а. Знайдіть поверхню меншого сферичного сегмента.

б) Радіус кулі дорівнює R, а дуга кульового сегменту дорівнює а. Знайдіть поверхню меншого сферичного сегменту.

398. а) Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 3 м і 4 м, а радіус кулі — 5 м. Визначте об'єм кульового пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розмішені по один бік від центра кулі.

б) Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 3 м і 4 м, а радіус кулі — 5 м. Визначте об'єм кульового пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розмішені по різні боки від центра кулі.

399. а) Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 10 см і 12 см, а його висота 11 см. Знайти поверхню сферичного пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю розміщені по різні боки від центра кулі.

б) Перерізи кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають площі 144 π см² і 25 π см². Знайдіть площу поверхні кулі, якщо відстань між паралельними площинами дорівнює 17 см.