Міністерство освіти і науки україни

Державний вищий навчальний заклад

«Бердичівський коледж промисловості, економіки та права»

Т.С.Волобуєва, н.А.Родер

Г е о м е т р і я Збірник завдань

Бердичів 2011 Волобуєва т.С., Родер н.А.

Геометрія: Збірник завдань. — Бердичів, 2011. — 101 с.

Збірник містить повний об’єм задач, що відповідають програмі з математики для студентів І курсу вищих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації. У збірнику виділені задачі та тестові завдання для підготовки до практичних занять, розв’язавши які, студент може самостійно зробити висновок про якість своєї підготовки.

Рекомендується для студентів економічних спеціальностей.

Розглянуто та схвалено цикловою комісією

фізико-хіміко-математичних дисциплін

Протокол № _ від _______________ р.

Голова циклової комісії ______________ О.О.Горленко

ЗМІСТ

Тема 1. Координати і вектори в просторі………………………………………... Завдання обов’язкового рівня Завдання підвищеного рівня Завдання поглибленого рівня Тема 2. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі…………… Завдання обов’язкового рівня Завдання підвищеного рівня Завдання поглибленого рівня Тема 3. Призма………………………………... Завдання обов’язкового рівня Завдання підвищеного рівня Завдання поглибленого рівня Тема 4. Піраміда………………………………………………... Завдання обов’язкового рівня Завдання підвищеного рівня Завдання поглибленого рівня Тема 5. Тіла обертання……………………………………………... Завдання обов’язкового рівня Завдання підвищеного рівня Завдання поглибленого рівня Тема 6. Комбінації тіл……………………………………………... Завдання обов’язкового рівня Завдання підвищеного рівня Завдання поглибленого рівня

4 10 13 23 28 35 39 49 53 60

Т ЕМ А 1

Координати і вектори в просторі

1.1. Завдання обов’язкового рівня

1. а) Знайдіть відстань від точки А (1; 2; 3) до початку координат:

A) ; Б) ; В) ; Г) інша відповідь.

б) Знайдіть відстань між точками А (-1; 1; -1) і В (-1; 0; -2).

A) ; Б) 2; В) 2 ; Г) інша відповідь.

2. а) На осі Ох знайдіть точку, рівновіддалену від точок А (1; 2; 2) і В (-2; 1; 4).

А) (-1; 0; 0); Б) (-2; 0; 0); В) (2; 0; 0); Г) інша відповідь.

б) На осі Оу знайдіть точку, рівновіддалену від точок А (-2; 1; 4) і В (1; 2; 2).

А) (0; 6; 0); Б) (0; -6; 0); В) (0; 4; 0); Г) інша відповідь.

3. а) У трикутнику ABC А ( 2; 1; 3), В (2; 1; 5), С (0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани AM.

А) 1; Б) 2; В) 2,5; Г) 0,5;

б) У трикутнику ABC А (2; 1; 3), В ( 2; 1; 5), С (0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани CM.

А) ; Б) 2 ; В) ; Г) .

4. а) На осі абсцис знайдіть точку М, відстань від якої до точки А (3; -3; 0) дорівнює 5.

А) (-1; 0; 0); Б) (-1; 7; 0); В) (7; 0; 0); Г) (7; 0; 0) і (-1; 0; 0).

б) На осі ординат знайдіть точку М, відстань від якої до точки А (4; 3; 0) дорівнює 5.

А) (0; 0; 0); Б) (0; -6; 0); В) (0; 6; 0) та (0; 0; 0); Г) (6; 0; 0).

5. а) Вектор, довжина якого дорівнює 3, має однакові координати. Знайдіть координати вектора.

1. (1; 1; 1) або (-1; -1; -1); Б) ( ; ; ) або (- ; - ; - ):

2. (3 ; 3 ; 3 ) або (-3 ; -3 ; -3 ).

б) Вектор, довжина якого дорівнює 3 , має рівні координати. Знайдіть координати вектора.

А) (-3; -3; -3) або (3; 3; 3); Б) (-3 ; -3 ; -3 ) або (3 ; 3 ; 3 );

В) інша відповідь.

6. а) Знайдіть довжину вектора , якщо А (-1; 1; -1) і В (-1; 1; -1).

A) ; Б) 2; В) 2 ; Г) інша відповідь.

б) Знайдіть довжину вектора , де О — початок координат і А (1; 2; 2).

А) 2; Б) 3; В) 4; Г) інша відповідь.

7. а) Яка з точок М є серединою відрізка АВ, якщо А (1; -1; -1); В (1; -1; 1)?

А) М (2; -2; 0); Б) М (1; -1; 0); В) М (-1; 1; 1); Г) інша відповідь.

б) Знайдіть координати вектора , якщо А (0; 1; -1) і В (1; -1; 0).

А) (1; 0;-1); Б) (-1; 2; -1); В) (1; -2; 1); Г) інша відповідь.

8. а) Від точки А відкладено вектор = . Знайдіть координати точки В, якщо А (-1; 5; 0), (1;-3;0).

А) (2; 2; 0); Б) (0; 8; 0); В) (0; 2; 0).

б) Від точки А відкладено вектор = . Знайдіть координати точки В, якщо А (-2; 7; 0), (-2; -5; 0).

А) (-4; -12; 0); Б) (0; 2; 0); В) (0; -2; 0).

9. а). Дано вектори (4; -2; -4) та (6; -3; 2). Обчисліть .

А) 41; Б) 33; В) інша відповідь.

б) Дано вектори (4; -2; -4) та (6; -3; 2). Обчисліть .

А) ; Б) ; В) .

10. а) Дано вектори (-2; 2; -3) та (3; 1; 2). Знайдіть .

A) (5; 5; 0); Б) (5; 7; 0); В) (4; 5; -1); Г) інша відповідь.

б) Дано вектори (4; -4; 2) та (3; 2; 2). Знайдіть .

A) (8; 2; -5); Б) (8; -2; 5); В) (8; 2; 5); Г) інша відповідь.

11. а) Знайдіть довжину вектора , якщо (1; 2; 2).

А) 4; Б) 6; В) 8; Г) інша відповідь.

б) Знайдіть довжину вектора , якщо (2; 2; -1).

А) 6; Б) 9; В) 12; Г) інша відповідь.

12. а) Дано точки А (1; 0; 2), В (3; n; 5), С (2; 2; 0), D (5; 4; m). При яких значеннях n і m вектори АВ і CD — колінеарні?

А) ; ; Б) ; ; В) ; ; Г) інша відповідь.

б) Дано вектор (1; 2; 3). Знайдіть на площині ху колінеарний до нього вектор з початком у точці А (-1; -1; -1) і кінцем у точці В.

А) ; Б) ; В) ; Г) інша відповідь.

13. а) Чи колінеарні вектори (2; 3; 8) та (-4; 6; -16)?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.

б) Чи колінеарні вектори (8; 3; -2) і (16; 6; -4)?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.

14. Знайдіть значення m і n, при яких дані вектори колінеарні:

а) (15; m; 1) і (18; 12; n).

А) т= 10 і n = ; Б) m = 10 і п = 1,2; В) m = 14,5 і п = 1,2.

б) і (- ; n; 5).

А) m = 0,1 і п = -2; Б) m = 0,1 і n = -0,08; В) m = 2,5 і n = -2.

15. а) Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.

б) Чи перпендикулярні вектори (1; 1; -2) і (2; 2; 2)?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.

16. а) При якому значенні z вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; z) перпендикулярні?

А) -4; Б) 4; В) 5.

б) При якому значенні х вектори (6; 0; 12) і (x; 13; 4) перпендикулярні?

А) 8; Б) 106; В) -8.

17. а) У трикутнику ABC: A (2; 1; 3), В (1; 1; 4), С (0; 1; 3). Чи перпендикулярні вектори і , де М — середина відрізка АВ?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.

б) У трикутнику ABC А (4; 2; 10), В (10; -2; 8), С (-2; 0; 6). Чи перпендикулярні вектори і , де М — середина відрізка ВС?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.

18. а) Дано вектори (2; -1; 4) і (5; 3; х). При якому значенні х ?

А) 3; Б) 0; В) .

б) Дано вектори (0; у; 5) і (-3; -2; 1). При якому значенні у ?

А) 5; Б) 4; В) 0:

19. а) Дано вектори (3; -1; 2) і (-1; -5; 7). Знайдіть .

А) 6; Б) 16; В) 22.

б) Дано вектор (5; 6; 3). Знайдіть .

А) -2; Б) 70; В) інша відповідь.

20. а) Дано вектори (3; -1; 5) і (-2; -3; 0). З'ясуйте, який кут між векторами і .

А) гострий; Б) тупий; В) прямий; Г) визначити неможливо.

б) Дано вектори (4; -3; 7) і (-1; -3; 2). З'ясуйте, який кут між векторами і .

А) гострий; Б) тупий; В) прямий; Г) визначити неможливо.

21. Дано точки А (8; -2; 5), В (2; 3; 7), С (-3; 9; 4), D (3; 4; 2). Чи рівні вектори:

а) і ?

А) визначити неможливо; Б) так; В) ні; Г) інша відповідь.

б) і ?

А) так; Б) ні; В) визначити неможливо; Г) інша відповідь.