1.4 Розв’язувальні рівняння методу переміщень (канонічні рівняння)

Для складання розв’язувальних рівнянь методу переміщень використовуємо другу суперечність між вихідною розрахунковою схемою та її основною системою. Вона полягає в тому, що в додаткових в’язях основної системи від зовнішнього навантаження виникають реактивні сили в додаткових опорних стержнях, а в «плаваючих» затисненнях жорстких вузлів – реактивні моменти, тобто виникають реакції, яких немає у вихідній системі через відсутність цих додаткових в’язей.

Отже, необхідно скласти математичні умови рівності нулю відповідних реактивних сил у накладених додаткових в’язях у стані навантаження основної системи кутами повертання жорстких вузлів із «плаваючими» затисненнями, поступальними переміщеннями вузлів зі встановленим опорним стержнем у його напрямі та зовнішнім навантаженням.

Так, наприклад, для рами (рис. 1.4), яка тричі кінематично невизначувана, розглянемо окремі стани основної системи (рис. 1.6), у кожному з яких на неї діє один фактор (рис. 1.6).

а) стан 1; б) стан 2; в) стан 3; г) стан Р

Рисунок 1.6 – Окремі стани основної системи

У стані 1 (рис. 1.6, а) жорсткий вузол 1 повертається разом із «плаваючим» затисненням на кут, що дорівнює , у стані 2 (рис. 1.6, б) жорсткий вузол 2 з «плаваючим» затисненням повертається на кут , у стані 3 (рис. 1.6, в) вузли (1; 2) разом зі встановленим опорним стержнем (3) мають переміщення у його напрямі на величину , у вантажному стані Р (рис. 1.6, г) на основну систему діє зовнішнє навантаження.

У кожному стані в усіх додаткових в’язях виникають реактивні сили.

Вводимо для цих реактивних сил позначення – перший індекс відповідає номеру додаткової в’язі, де виникає ця реакція, тобто номеру невідомого переміщення цієї в’язі, другий індекс відповідає номеру стану, в якому виникає реакція. Наприклад – реактивний момент вузла 2 у стані 3.

На підставі принципу суперпозиції сумарний реактивний момент у першому (1) рухомому затисненні від усіх невідомих переміщень () і зовнішнього навантаження ( ) дорівнює сумі відповідних реактивних моментів в усіх станах (рис. 1.6):

.

Сумарний реактивний момент у другому (2) затисненні від усіх невідомих переміщень () і зовнішнього навантаження ( ) дорівнює сумі відповідних реактивних моментів у всіх станах:

.

Сумарна реакція в додатковому опорному стержні (третя додаткова в’язь) від усіх невідомих переміщень () і зовнішнього навантаження ( ) дорівнює сумі реакцій в усіх станах:

.

Але у вихідній рамі ці додаткові в’язі відсутні. Тому для еквівалентності напружено-деформованого стану основної системи і вихідної схеми рами прирівняємо до нуля сумарні реактивні сили у додаткових в’язях:

; ; .

Реактивні сили у додаткових в’язях від невідомого переміщення, що дорівнює одиниці (), називають одиничними реактивними силами. Позначимо їх . Тоді має місце співвідношення:

.

Перепишемо сумарні реактивні сили в усіх станах, з урахуванням одиничних реактивних сил для розглянутої рами:

;

;

.

Ця сукупність залежностей є розв’язувальними рівняннями методу переміщень і називаються системою канонічних рівнянь методу переміщень.

Кількість отриманих рівнянь дорівнює кількості додаткових в’язей, тобто ступеню кінематичної невизначуваності системи, яка також дорівнює кількості основних невідомих методу переміщень (Фізичний зміст кожного з цих рівнянь полягає в тому, що сумарна реактивна сила у відповідній додатковій в’язі основної системи від усіх невідомих переміщень та зовнішнього навантаження дорівнює нулю.

Система розв’язувальних рівнянь методу переміщень може бути записана в матричному вигляді як:

,

де − вектор основних невідомих переміщень;

− вектор вантажних реакцій;

− матриця одиничних коефіцієнтів системи розв’язувальних рівнянь:

.

Коефіцієнти , що розташовуються на головній діагоналі матриці коефіцієнтів системи рівнянь, називаються головними одиничними коефіцієнтами (реакціями). Їхні величини тільки додатні й не дорівнюють нулю.

Коефіцієнти називаються побічними одиничними коефіцієнтами (реакціями), можуть бути додатними, від’ємними й дорівнювати нулю. Згідно з теоремою про взаємність реакцій побічні коефіцієнти, які розташовані симетрично відносно головної діагоналі, дорівнюють один одному ().

Для визначення коефіцієнтів та вільних членів системи канонічних рівнянь необхідно мати епюри внутрішніх зусиль в основній системі методу переміщень в одиничних та вантажному станах.