1.3.5. Интервальная оценка дисперсии (среднего квадратичного отклонения) при неизвестном математическом ожидании

 

Наилучшей точечной оценкой дисперсии в этом случае является

,

и построение интервальной оценки для σ² основано на статистике  , которая при случайной выборке из генеральной совокупности  ~  имеет распределение χ² с (n–1) степенью свободы.

Проделав выкладки для величины χ²(п–1), подобные выкладкам при известном математическом ожидании, получим два варианта интервальной оценки для σ² (σ):

 

1-й вариант:  ;                               (1.28)

 

,                   (1.29)

 

где числа   и   и находят по прил. 6 при k = п – 1 и соответственно при р = α/2 и р = 1 – α/2.

 

2-й вариант:  ,                 (1.30)

                      ,                       (1.31)

 

при этом ошибка ε оценки S, гарантируемая с вероятностью γ:

                                       

ε = Sδ_α.                                              (1.32)

 

Число δ_α находят по прил. 5 при k = п – 1 и р = α.

Замечание. При k = п – 1 > 30 случайная величина χ²(k) имеет распределение, близкое к  , поэтому с вероятностью ≈1– α

 

                      ,                           (1.33)

9. Интервальная оценка для генеральной доли (вероятности). Интервальное оценивание генеральной доли

Интервальное оценивание вероятности события

Для определения вероятностей интересующих нас событий мы применяем выборочный метод: проводим nнезависимых экспериментов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) событие А(вероятность р появления события А в каждом эксперименте постоянна). Тогда относительная частота p* появлений событий А в серии из n испытаний принимается в качестве точечной оценки для вероятности pпоявления события А в отдельном испытании. При этом величину p* называют выборочной долейпоявлений события А, а р — генеральной долей.

В силу следствия из центральной предельной теоремы (теорема Муавра-Лапласа) относительную частоту события при большом объеме выборки можно считать нормально распределенной с параметрами M(p*)=p и 

Поэтому при n>30доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя формулы (5.2)–(5.4):

 (5.6)

где u_кр находится по таблицам функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности γ :2Ф(u_кр)=γ .

При малом объеме выборки n≤30 предельная ошибка  определяется по таблице распределения Стьюдента

 (5.7)

где t_кр=t(k; α) и число степеней свободы k=n-1 вероятность α=1-γ (двустороння область).

Формулы (5.6), (5.7) справедливы, если отбор проводился случайным повторным образом (генеральная совокупность бесконечна), в противном случае необходимо сделать поправку на бесповторность отбора (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Средняя ошибка выборки для генеральной доли

Генеральная совокупность	Бесконечная	Конечная объема N
Тип отбора	Повторный	Бесповторный
Средняя ошибка выборки

Пример 3. С помощью случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочный опрос 900 своих служащих. Среди опрошенных оказалось 270 женщин. Постройте доверительный интервал, с вероятностью 0.95 накрывающий истинную долю женщин во всем коллективе фирмы.

Решение. По условию выборочная доля женщин составляет   (относительная частота женщин среди всех опрошенных). Так как отбор является повторным, и объем выборки велик (n=900) предельная ошибка выборки определяется по формуле

Значение u_кр находим по таблице функции Лапласа из соотношения 2Ф(u_кр)=γ, т.е.  Функция Лапласа (приложение 1) принимает значение 0.475 при u_кр=1.96. Следовательно, предельная ошибка   и искомый доверительный интервал

(p – ε, p + ε) = (0.3 – 0.18; 0.3 + 0.18) = (0.12; 0.48)

Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0.12 до 0.48.

Пример 4. Владелец автостоянки считает день «удачным», если автостоянка заполнена более, чем на 80 %. В течение года было проведено 40 проверок автостоянки, из которых 24 оказались «удачными». С вероятностью 0.98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли «удачных» дней в течение года.

Решение. Выборочная доля «удачных» дней составляет 

По таблице функции Лапласа найдем значение u_кр при заданной

доверительной вероятности 

Ф(2.23) = 0.49, u_кр = 2.33.

Считая отбор бесповторным (т.е. две проверки в один день не проводилось), найдем предельную ошибку:

где n=40, N = 365 (дней). Отсюда

и доверительный интервал для генеральной доли

(p – ε, p + ε) = (0.6 – 0.17; 0.6 + 0.17) = (0.43; 0.77)

С вероятностью 0.98 можно ожидать, что доля «удачных» дней в течение года находится в интервале от 0.43 до 0.77.