8. Интервальная оценка математического ожидания.

2.1. Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии

 

Итак, Х ~ N(а,σ) (случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ), причем значение параметра а не известно, а значение дисперсии σ² известно.

При  ~  эффективной оценкой параметра а является  , при этом  ~ . Статистика   имеет распределениеN(0; 1) независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом неравенства (1.12) и симметричности двусторонних критических границ распределения N(0; 1) будем иметь:

Р(–u_а < Z < u_а) = 1 – α = γ.

Решая неравенство   относительно а, получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство

,                              (1.13)

 

при этом

 

                                           .                                              (1.14)

 

Число u_а находят по прил. 3 из условия Ф(u_а) = γ/2.

Замечание. Если п велико, оценку (1.13) можно использовать и при отсутствии нормального распределения величины Х, так как в силу следствия из центральной предельной теоремы при случайной выборке большого объема п

.

В частности, если Х = μ, где μ – случайное число успехов в большом числе п испытаний Бернулли, то

,

и с вероятностью ≈1 – α для вероятности р успеха в единичном испытании выполняется неравенство

 

.                         1.15)

 

Заменяя значения р и q = 1 – р в левой и правой частях неравенства (1.15) их оценками   и  , что допустимо при большом п,получим приближенный доверительный интервал для вероятности р:

                                         

< p <  .                          (1.16)

 

2.2. Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной диcперсии

 

Итак, Х ~ N(а,σ), причем числовые значения ни а, ни σ² не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а:   и оценку

параметра σ².

Построение интервальной оценки для а основано на статистике

,

которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х ~ N(а,σ) имеет распределение Стьюдента с (п – 1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства (1.12) и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:

.

Решая неравенство

относительно а, получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство

                                       

,                                 (1.17)

 

и ошибка оценки   при неизвестном значении параметра σ²

 

                                         ,                                             (1.18)

 

где число   находят по прил. 4 при k = п – 1 и р = α.

Замечание. При k = n – 1 > 30 случайная величина t(k) имеет распределение, близкое к N(0; 1), поэтому с вероятностью ≈γ

 

,  

9. Интервальная оценка генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

9.1. Интервальная оценка дисперсии (среднего квадратичного отклонения) при известном математическом ожидании

 

Эффективной оценкой дисперсии в этом случае является

.

Используются два варианта интервальной оценки для σ²(σ).

1. Основу первого варианта составляет статистика

 

                                         ,                                        (1.20)

 

которая имеет распределение χ² с п степенями свободы независимо от значения параметра σ² и как функция параметра σ² > 0 непрерывна и строго монотонна.

Следовательно, с учетом неравенства (1.12) будем иметь:

,

где   и   двусторонние критические границы χ²-распределения с п степенями свободы.

Решая неравенство   относительно σ², получим, что с вероятностью γ выполняется неравенство

 

                                         ,                                           (1.21)

 

и с такой же вероятностью выполняется неравенство

 

                                         .                                         (1.22)

 

Числа   и   находят по прил. 1 k = n и соответственно при р = α/2 и р = 1 – α/2. Интервальная оценка (1.22) не симметрична относительно .

2. Второй вариант предполагает нахождение интервальной оценки для σ при заданной надежности γ в виде

                                       

.                          (1.23)

 

При δ_α < 1 границы этой оценки симметричны относительно  , и ошибка оценки  , гарантируемая с вероятностью γ,

                                                          

ε =  δ_α.                                             (1.24)

 

Возникает вопрос: как найти δ_α? Решая неравенство (1.23) относительно  , получим, что с вероятностью 1–α выполняется неравенство

 

,                           (1.25)

 

или, учитывая формулу (1.20) и заменяя п на k, а α на р, получим

 

.                 (1.26)

 

Значения δ, удовлетворяющие равенству (1.26) при различных значениях р и k, приведены в прил. 5.

Итак,

                    

,               (1.27)

 

где δ_α – число, найденное в прил. 5 при k = п и р = α.