Алгоритм решения краевой задачи оду.

Если кроме начальных условий задаются граничные условия, то задача называется краевой. Краевые задачи существуют для уравнений порядка выше первого.

Например, для линейного дифференциального уравнения второго порядка

y" + p(x)y' + g(x)y = f(x)

Решение y(x) должно удовлетворять условию на отрезке [a , b] y(a) = A, y(b) = B (3.43)

Граничные условия могут быть заданы и в общем, виде

₁y(a) + ₁y'(a) = A

₂ (b) + ₂ y'(b) = B

Численные методы решения уравнения вида (3.42) делятся на две группы: сведение решения краевой задачи к последовательности решений задачи Коши и использование конечно-разностных методов.

Конечно-разностные методы решения краевой задачи сводят ее решение путем алгебраизации производных к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Алгоритм решения рассмотрим на конкретном примере.

Пусть требуется решить уравнение

y" + x·y' - 0.5y/x = 1

на интервале [2, 2.3] при заданных краевых условиях

y(2) + 2y'(2) = 1

y(2.3) = 2.15

Выберем шаг h = 0.1, тогда множество точек решения будет x₀ = 2,0; x₁ = 2,1; x₂ = 2,2; x₃ = 2,3;

Точки x₁ и x₂ лежат внутри интервала, на котором ищется решение, x₀ x₃ точки граничных условий.

Запишем, конечно- разностное представление граничных условий и уравнения для всех точек.

В первом уравнении первая производная представлена конечно-разностным выражением по трех точеченой схеме для точки x₀ = 2,0 (численное дифференцирование с помощью полинома Лагранжа).

Во второй и третьей точках решения - x₁ ; x₂ в конечных разностях записывается выражение ОДУ. Для представления первых производных использованы центральные разности, а для второй производной вторые разности. После преобразований получим

Подставив значение y₃ в третье уравнение, получим систему из трех уравнений

Система представляет собой СЛАУ, которая решается известными методами. Его решение дает следующий результат.

y₀= 2.235, y₁= 2.185, y₂= 2.158, y₃= 2.15

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных

В практике инженера по автоматизации для решения некоторых задач теплообмена в технологических объектах управления приходится использовать дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

Чаще всего используют ДУЧП, которое описывает изменение состояния системы в пространстве одной координаты и по времени в виде общего уравнения:

, (1)

где Q – параметр (температура, давление или другая физическая величина)

ДУЧП классифицируют по трем признакам: математический вид уравнения, физический смысл и автор, впервые исследовавший уравнение, которые представлены в таблице 1.

Таблица 1

Математический вид уравнения Гиперболическое Параболическое Эллиптическое Первого порядка

Физический смысл Волновое Теплопроводности (диффузии) Напряжение в веществе (прочности) Переноса субстанции (вещества)

Автор Даламбер Фурье (Пуассон) Лапласа

Математическую основу уравнения определяет соотношение коэффициентов.

Если a = b = c = f = 0 ; d  0 , e  0 , то получаем уравнение первого порядка в частных производных.

- уравнение переноса (2)

Если D = b - ac > 0 , то вид уравнения – гиперболический (нестационарная задача)

(3)

При D = 0 , параболическое уравнение

, где а > 0 (4)

и если D > 0, то эллиптическое уравнение (стационарная задача)

, (5)

где в качестве второй переменной здесь является пространственная координата y, а производная по времени равна нулю.

Точное решение ДУЧП удается получить лишь для немногих частных случаев. В настоящее время для решения ДУЧП с помощью ЭВМ наиболее широкое распространение получил численный метод сеток. Его идея принадлежит Эйлеру.