1)Для суммы событий а и в выполняются соотношения:
А + В = В + А;
А + Ω = Ω
А + Ø = A;
А + A = A.
2)Для произведения событий А и В выполняются соотношения: А·В = В·А;
А·Ω = A;
А·Ø = Ø;
А·A = A.
3)Операции сложения и произведения удовлетворяют свойству дистрибутивности:
(А + В) ·C = А ·C + В ·C;
А + В ·C = (А + В )·(А+C).
3.Основные понятия комбинаторики. Теоремы умножения и сложения комбинаторики.
Комбинаторика – это раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций.
Правило сложения.
Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить n1-способами, а другое n2-способами, то выполнить одно любое из этих действий можно (n1+n2)-способами.
Правило умножения.
Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k-действий, причем 1-ое действие можно выполнить n1-способами, 2-ое – n2-способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить nk-способами, то все k-действий вместе могут быть выполнены (n1*n2*…*nk)-способами.
4.Основные понятия комбинаторики. Размещения
Если комбинации из n-элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения, либо тем и другим, то такие комбинации называют размещениями из n-элементов по m.
Аmn = n! / (n–m)!
А23 = 3! / (3-2)! = (3*2*1)/(1) = 6
а1 а2
а1 а3
а2 а1
а2 а3
а3 а1
а3 а2
4.Основные понятия комбинаторики. Размещения
Если комбинации из n-элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения, либо тем и другим, то такие комбинации называют размещениями из n-элементов по m.
Аmn = n! / (n–m)!
А23 = 3! / (3-2)! = (3*2*1)/(1) = 6
а1 а2
а1 а3
а2 а1
а2 а3
а3 а1
а3 а2
5.Основные понятия комбинаторики. Перестановки.
Если комбинации из n-элементов отличаются только порядком расположения всех этих элементов, то их называют перестановками из n-элементов. Рn = n! (факториал)
Р3 = 3! =3*2*1=6 - убедимся на примере:а1,а2,а3
а1 а2 а3
а1 а3 а2
а2 а3 а1
а2 а1 а3
а3 а1 а2
а3 а2 а1
6.Основные понятия комбинаторики. Сочетания
Если комбинации из n-элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями.
Сmn = n! / m!(n-m)!
С23 = 3! / 2!(3-2)! = (3*2*1)/(2*1*1) = 3
а1 а2
а1 а3
а2 а3
Если в размещениях (сочетаниях) из n-элементов по m некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n-элементов по m.
а1 а2 = 32 = 9 а1 а1 = С23+2-1= 4! / 2!2! = 6
а1 а3 а1 а2
а1 а1 а1 а3
а2 а1 а2 а2
а2 а2 а2 а3
а2 а3 а3 а3
а3 а1
а3 а2
а3 а3