1. Случайные события. Основные понятия. Определение вероятности.

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

• Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие, оно называется достоверным и обозначается Ω.

• Если событие заведомо не может произойти при данном комплексе условий (ни при каком испытании) – невозможное Ǿ.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Вероятность события-это численная мера (оценка) степени объективной возможности наступления события.Обозначается: Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев: Р(А) = М / N ,

где Р(А) – вероятность события А,

М – число случаев, благоприятствующих событию А,

N – общее число случаев.

Отметим, что все случаи равновозможны и несовместимы, а испытание содержит конечное число исходов.

2.Случайные события. Операции над событиями

Соотношения, которые могут существовать между событиями:

1.Если в результате испытания при каждом появлении события А наступает событие В, то говорят, что А является частным случаем В, и обозначают так А c В.

Например, если В-сдача экзамена и А – получение оценки «хорошо», то А c В.

2.Если А c В и В c А, то А = В. События называются равносильными, если при каждом испытании они оба наступают, либо не наступают.

Например, при бросании кубика А-выпадение нечетного числа и В-выпадение цифр 1,3,5; то А = В – равносильные.

3.События А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно в результате испытания.

4.События А и В называются несовместными, если их совместное наступление неосуществимо, т.е. АВ = Ǿ (или другими словами появление одно исключает появление другого).

Например, получение на одном экзамене двух оценок: 3 и 5 – события несовместные, а получение оценок: 3 и 5 на двух разных экзаменах – совместные.

5. Событие A~ называется противоположным событию А (и наоборот), если непоявление одного из них влечет появление другого, т.е. для них одновременно выполняются неравенства:

А + A~ = Ω. и А*A~ = Ǿ.

Например, при бросании монеты появление орла и появление решки.

6. События H1, H2, …, Hn образуют полную группу попарно несовместных событий, если события Hi и Hj при ij несовместны и хотя бы одно из событий H1, H2, …, Hn непременно должно произойти, т.е.

H1 + H2 +…+ Hn = Ω =U (полная группа)

Hi * Hj = Ǿ, ij (попарная несовместность).

Например, при одном выстреле события «попал» и «мимо» - это п.г.п.н.с., а если 10 выстрелов и события «попал меньше 7 раз» и «попал больше 5 раз» - события совместные, поэтому не являются п.г.п.н.с.

7. События А и В называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным.

Например, выпадение орла или решки.

8. Суммой событий А и В называется такое событие А+В (АВ), которое заключается в наступлении по крайне мере одного из этих событий.

9. Произведением событий А и В называется такое событие А*В (АВ), которое заключается в совместном наступлении этих событий.

10. Разность событий (В-А) – это событие заключается в том, что событие В происходит, а событие А нет.

Например, победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (В) или грамотой (С).

Тогда событие (А+В) – это награждение победителя или призом, или деньгами, или и тем и другим.

Событие А*В*С – это награждение и призом, и деньгами, и грамотой.

Событие (А*В-С) – награждение призом и деньгами без грамоты