Для контура в виде окружности радиуса , центр которой находится на проводнике, циркуляция вектора , касательного к этой окружности, будет равна
.
Особенно просто
выглядит уравнение (или теорема) о
циркуляции, если вместо вектора магнитной
индукции
использовать сонаправленный с ним
вектор напряженности магнитного поля
.
Как известно
.
Покажем, как с
помощью уравнения о циркуляции можно
рассчитать величину магнитного поля
внутри бесконечно протяженного соленоида,
по которому течет ток величиной
.
Прежде заметим, что соленоид
это навитый на цилиндрическую поверхность
проводник, по которому течет ток. Соленоид
характеризуют числом витков
и
длиной
.
Очевидно, что соленоид представляет
собой
параллельных друг другу витков с током.
Прежде подсчитаем индукцию магнитного поля в центре кругового тока и в точках на перпендикуляре к плоскости витка, проходящего через его центр.
В центре витка индукция и напряженность магнитного поля будут равны
.
И
ндукция
и напряженность магнитного поля на
перпендикуляре к центру витка определятся
соотношениями
.
И
спользуя
полученные результаты, рассчитаем
индукцию и напряженность магнитного
поле в центре бесконечно протяженного
соленоида, в витках которого течет ток
.
Индукция от выделенной части соленоида
.
Как следует из чертежа
,
.
Принимая во внимание приведенные соотношения, далее получим
.
Интегрируя по всем виткам, для индукции магнитного поля внутри соленоида окончательно получим
.
В случае бесконечно
протяженного соленоида
,
.
Поэтому индукция и напряженность
магнитного поля внутри бесконечно
протяженного соленоида будут равны
,
. (1)
В приведенных
формулах величина
определяется
числом витков на единице длины соленоида.
Формулы (1) можно получить, используя уравнение Максвелла (IV) о циркуляции вектора магнитной индукции. Для этого выберем замкнутую кривую, которая проходит внутри соленоида, выходит из него под прямым углом, проходит вне соленоида и аналогичным образом под прямым углом к оси соленоида возвращается в соленоид у другого конца.
Ц
иркуляция
вектора
по выбранному контуру будет равна
, (2)
где
длина
соленоида. Циркуляция
на внешнем участке выбранного контура
равна нулю, так как вдали от соленоида
индукция магнитного поля равна нулю, а
вблизи концов соленоида проекция вектора
на направление касательной к контуру
равна нулю. С другой стороны циркуляция
по выбранному замкнутому контуру равна
току, охватываемому контуром. Все это
учтено формулой (2). Разрешая соотношение
(2), для индукции и напряженности магнитного
поля получим
.