2.2. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей

2.2.1. Напряженность поля бесконечно длинного соленоида

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из провода, витки которой намотаны в одном направлении и прилегают плотно друг к другу.

Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось (рис. 2.6).

Внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление. Поэтому принято считать поле бесконечно длинного соленоида (такого, у которого диаметр гораздо меньше длины – d<<L) однородным, существующим только внутри его.

Р ассчитаем напряженность магнитного поля внутри соленоида, длина которого L, радиус витка R, число витков N, сила тока I. Будем считать, что в любой точке соленоида вектор H направлен параллельно оси.

Для расчета напряженности воспользуемся законом полного тока в виде

. (2.7)

В ыберем замкнутый контур прямоугольной формы (рис. 2.7), участок 1-2 которого расположен внутри соленоида вдоль его оси.

Левую часть выражения (2.7) можно представить в виде

,

где , так как H перпендикулярен участку 2-3;

, так как H перпендикулярен участку 4-1;

, так как участок 3-4 находится вне соленоида.

Следовательно,

.

Правая часть выражения (2.16) может быть представлена так:

,

где n - число витков на единице длины соленоида;

- длина участка;

I - величина тока в соленоиде.

Таким образом, имеем

.

Откуда

. (2.8)

Формула (2.8) согласуется с формулой, полученной с применением закона Био-Савара-Лапласа.

Из полученного результата действительно видно, что напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида имеет одно и тоже значение, а следовательно, оно действительно однородно.

Таким образом, действительно внутри бесконечно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова. Она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом правого винта.

2.2.2. Напряженность магнитного поля тороида

Магнитное поле тороида (тороид – это соленоид, свитый в кольцо) однородное, сосредоточено внутри самого тороида. Вне тороида поле отсутствует. Линии вектора H представляют собой концентрические окружности, центры которых совпадают с центром тороида. Краевой эффект у тороида (такого соленоида) отсутствует В ыбирая одну из линий вектора H за контур обхода, радиус которого r (r₁, r₂), и применяя закон полного тока, будем иметь

;

,

где R - радиус тороида (радиус линии вектора H, расположенной в средней части тороида).

Имеем

.

Откуда

. (2.9)

Так как в нашем случае R = r, то

. (2.10)

Внутри тороида напряженность магнитного поля имеет различные направления, поэтому говорить о его однородности можно только условно, т.е.

.

Магнитный момент

П оместим прямоугольную рамку с током в однородное магнитное поле и рассчитаем силы, действующие на нее со стороны поля. На верхнюю и нижнюю стороны рамки длиною действуют равные по величине силы и , которые создают вращающий момент величиной

. (1)

В приведенной формуле длина боковой стороны рамки, угол между единичным вектором нормали и вектором магнитной индукции поля, площадь рамки

Введем в рассмотрение новую векторную величину

, определяемую соотношением

(2)

и называемую магнитным моментом. Как следует из формулы (2), магнитный момент численно равен произведению площади «витка» (рамки) на величину тока в нем. Его направление совпадает с направлением нормали к плоскости «витка». Это направление связано с направлением тока правилом «правой руки». Учитывая это, формулу (1) для вращающего момента магнитных сил можно представить в более компактном виде

. (3)

Из формулы (3) следует, что вращающий момент магнитных сил равен векторному произведению магнитного момента на вектор магнитной индукции . Формула (3) справедлива для любой формы витка, находящегося в однородном магнитном поле. В случае неоднородного магнитного поля она будет справедлива для витка малых размеров. Формулу (3) часто используют для определения магнитной индукции как величины, определяемой отношением максимального вращающего момента магнитных сил к величине магнитного момента.

.

Следует заметить, что магнитные силы и не создают моментов. Они деформируют (растягивают) рамку.

Поэтому результирующее действие магнитных сил определяется вращающим моментом и , который рассчитывается по формуле

.

В заимная связь направлений тока и магнитного момента представлена на рисунке. Величина магнитного момента рамки равна

.

Л егко видеть, что направление магнитного момента совпадает с направлением магнитной индукции в центре «витка» с током.

С направлением вектора магнитной индукции связывают понятие о магнитных полюсах. Плоскость витка, из которой выходит вектор или вектор , называют северным магнитным полюсом. При этом противоположная плоскость витка, в которую входит вектор , называют южным магнитным полюсом. Очевидно, что разноименные полюса будут притягиваться, а одноименные отталкиваться друг от друга. Магнитные полюса постоянных магнитов принято окрашивать в соответствующий цвет. Наша Земля представляет собой гигантский магнит, южный полюс которого находится вблизи северного полюса Земли.

Поток и циркуляция вектора магнитной индукции

Особенности магнитного поля определяются приведенными ниже уравнениями Максвелла

.

.

Из уравнения следует, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это указывает на то, что магнитные заряды в природе не существуют. Из уравнения (IV) следует, что источником магнитного поля являются либо движущиеся заряды (электрический ток) либо изменяющееся электрическое поле. Силовые линии магнитного поля, в чем мы убедились, изучая магнитное поле проводника с током, являются замкнутыми кривыми. Поэтому в отличие от электрического потенциального поля магнитное поле является вихревым или соленоидальным полем.

Покажем, что полученный ранее результат о величине индукции магнитного поля бесконечно протяженного проводника с током в полной мере согласуется с уравнением (IV), из которого следует, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна току, охватываемому этим контуром.