Введение

Электродинамика является одним из фундаментальных разделов современной классической физики. Она изучает законы взаимодействия и движения электрических зарядов. В основе электродинамики лежат четыре закона Д. Максвелла. Они являются обобщением большого эмпирического материала и базируются на представлениях о существовании электрического и магнитного полей, которые характеризуются векторами электрической напряженности и магнитной индукции .

Среди известных видов взаимодействия электромагнитное взаимодействие занимает особое место. Это связано с тем, что все тела состоят из электрически заряженных (положительных и отрицательных) частиц, взаимодействие между которыми определяет их различные физические свойства.

Электромагнитным взаимодействием определяется строение атомных оболочек, сцепление атомов в молекулы (силы химической связи) и образование конденсированного вещества (межатомное и межмолекулярное взаимодействие).

В природе существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Ими обладают элементарные частицы - электроны, протоны, позитроны и др. В телах всегда имеются заряды обоих знаков, которые компенсируют друг друга. На макроскопическом уровне положительно заряженное тело характеризуется недостатком отрицательных электрических зарядов (электронов), а отрицательно заряженное тело – их избытком.

Принято считать, что стеклянная палочка, потертая шелком, заряжается положительно, а эбонитовая палочка, потертая мехом,- отрицательно.

При электризации тел происходит перераспределение зарядов (свободных электронов). В результате электризуются оба тела, одно положительно, а другое – отрицательно. Количество же зарядов (положительных и отрицательных) при этом остается неизменным.

В процессе электризации проявляет себя один из фундаментальных законов природы - закон сохранения электрических зарядов. Он утверждает, что в электрически изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов является постоянной величиной.

, (1.1)

Экспериментально установлено, что электрический заряд изменяется дискретно. Заряд любого тела кратен элементарному электрическому заряду, величина которого равна 1,6 10^-19 Кл. Такой заряд имеют электрон, протон и другие элементарные частицы. Наличие у тел электрического заряда проявляется во взаимодействии с другими заряженными телами. При этом тела, заряженные одноименно, отталкиваются, а заряженные разноименно – притягиваются.

Покоящийся электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле, действующее на другие заряды. Движущийся заряд, кроме этого, создает магнитное поле, которое действует на другие движущиеся заряды. Таким образом, взаимодействие зарядов осуществляется через «посредника», которым является электромагнитное поле. Скорость распространения электромагнитного поля равна скорости света в вакууме.

Согласно представлениям классической физики (теории близкодействия), взаимодействие между телами всегда осуществляется посредством тех или иных полей: гравитационное взаимодействие - посредством гравитационного поля, электромагнитное взаимодействие - посредством электромагнитного поля и т.д. Поле представляет собой особый вид материи. Оно характеризуется энергией, массой, импульсом и другими величинами.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Теорема Остроградского

Теорема Стокса

1. 

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Оператор Набла

Оператор Лапласа

Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Принцип суперпозиции электрических полей

Прежде чем перейти к формулированию одного из фундаментальных законов электродинамики рассмотрим его частное проявление.

Взаимодействия электрических зарядов характеризуется установленным в 1785 г. законом Кулона, согласно которому сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

, (1.2)

Здесь q₁ и q₂ – величины взаимодействующих зарядов;

r – расстояние между зарядами;

– единичный вектор, имеющий направление радиус-вектора заряда;

₀ = 8,8510^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Нм²/Кл²

Силовой характеристикой электрического поля служит векторная физическая величина , называемая напряженностью поля.

Величина напряженности электрического поля численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Напряженность электрического поля точечного заряда q определяется формулой

.

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

В системе единиц СИ напряженность электрического поля измеряется в Н/Кл или В/м. Сила, действующая на электрический заряд, определяется формулой

. (1.4)

Если электрическое поле создано не одним, а несколькими зарядами, то напряженность результирующего поля будет равна векторной сумме напряженностей полей, созданным каждым зарядом в отдельности.

. (1.5)

Как видим, для электрических полей справедлив принцип суперпозиции. Принцип суперпозиции позволяет определить напряженность электрического поля, создаваемого любой системой зарядов.

Электрические поля можно изображать графически с помощью силовых линий. Силовой линией электрического поля, называют линию, касательная в каждой точке к которой совпадает с направлением вектора напряженности поля в данной его точке. По густоте силовых линий можно судить о величине напряженности электрического поля в данном месте пространства.

Различают однородное и неоднородное электрическое поле. Характер распределения силовых линий однородного электрического поля, порождаемого двумя параллельными заряженными плоскостями, представлен на рис. 2. Силовые линии неоднородного электрического поля двух точечных зарядов приведены на рисунке 1.

С иловые линии электрического поля не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор имеет определенную величину и направление,

Анализ принципа суперпозиции электрических полей и закона Кулона для произвольной системы электрических зарядов позволил Максвеллу сформулировать один из фундаментальных законов электродинамики в интегральной форме, утверждающий, что поток вектора через любую замкнутую поверхность пропорционален заряду, находящемуся внутри этой поверхности.

Этот закон можно представить в виде:

. (I)

Приведенное соотношение часто называют теоремой Остроградского-Гаусса.

Понятие потока вектора является одним из фундаментальных понятий электродинамики. Рассмотрим его более подробно. Выделим в электрическом поле небольшую плоскую площадку площадью . Поток вектора через выделенную площадку будет равен скалярному произведению векторов и . Площадку представляют вектором , величина которого равна площади площадки, а направление совпадает с направлением единичного вектора нормали к этой площадке. Другими словами

Поэтому поток вектора через площадку будет равен

.

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность будет равен сумме или интегралу элементарных потоков

.

Покажем справедливость теоремы Остроградского-Гаусса на примере электрического поля, созданного точечным зарядом. В силу сферической симметрии электрического поля вектор в любой точке сферы будет перпендикулярен поверхности сферы и иметь одну и ту же величину. Поэтому поток через выделенную сферическую поверхность, в центре которой находится заряд, будет равен

.

И з полученного соотношение следует, что величина напряженности электрического поля точечного заряда на расстоянии от него, будет равна

Точно такое же значение для напряженности поля точечного заряда было получено ранее с помощью закона Кулона.

Работа электрического поля по перемещению электрического заряда. Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля

Пусть в электрическом поле точечного заряда q_o из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q, Подсчитаем работу силы, приложенной к этому заряду. Работа силы на элементарном перемещении равна

(1.6)

Работа силы на произвольном участке траектории будет равна интегралу элементарных работ

, (1.7)

Коэффициент пропорциональности в международной системе единиц СИ k = 1/4₀;

q_o – заряд, создающий электрическое поле;

q – заряд, перемещающийся в этом поле;

r₁, r₂ – начальное и конечное расстояния между зарядами.

Из формулы (1.7) видно, что работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда не зависит от вида траектории. Она определяется только начальным и конечным положениями зарядов. Очевидно, что работа электрических сил на замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электрические силы являются консервативными силами, а электрическое поле - потенциальным.

Работа по перемещению единичного заряда определяется аналогичным соотношением

Интегрируя его для произвольного участка траектории, получим

. (1.8)

Работа консервативных сил связана с изменением потенциальной энергией взаимодействующих тел

(1.9)

Сопоставляя соотношения (1.7) и (1.9), приходим к выводу о том, что система, состоящая из двух электрических зарядов, обладает потенциальной энергией, величина которой определяется формулой

.

Константу C принимают равной нулю, полагая, что потенциальная энергия зарядов равна 0, когда заряды находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. При этом условии потенциальная энергия двух любых точечных зарядов, находящихся на расстоянии друг от друга будет равна

(1.10)

Потенциальная энергия одноименных зарядов будет положительной, а разноименных зарядов – отрицательной.

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. Электрическое поле создает заряд , в котором находится заряд , обладающий потенциальной энергией, определяемой формулой (1.10) . Эквивалентным образом можно полагать, что в электрическом поле заряда находится заряд , обладающий той же по величине потенциальной энергией. В рамках такой интерпретации в качестве энергетической характеристики электрического поля можно ввести понятие потенциала, характеризующего каждую точку поля.

Потенциалом данной точки электрического поля называют скалярную величину, равную потенциальной энергии единичного положительного заряда, находящегося в данной точке поля.

(1.11)

Таким образом, потенциал точечного заряда в точке, находящейся от него на расстоянии . определится соотношением

.

Аналогичным образом, определяется потенциал электрического поля любого другого точечного заряда, например, заряда . Потенциал поля заряда в точке, находящейся на расстоянии от него, определится формулой

.

Учитывая это, потенциальную энергию двух точечных зарядов может быть представлена следующей формулой

.

В приведенной формуле - потенциал поля заряда в точке, где находится заряд , - потенциал поля заряда в точке, где находится заряд .

Потенциальная энергия системы из точечных электрических зарядов будет равна сумме потенциальных энергий каждой пары зарядов в отдельности. Например, потенциальная энергия трех электрических зарядов определится соотношением

. (1.12)

Очевидно, если электрическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал такого поля будет равен сумме потенциалов электрических полей каждого заряда в отдельности

. (1.13)

Приведенное соотношение является следствием принципа суперпозиции электрических полей, отмеченного ранее.

Принимая во внимание понятие потенциала электрического поля, для работы электрических сил из (1.7) получим фундаментальное соотношение

. (1.14)

Ч тобы сформулировать другой фундаментальный закон электродинамики

введем в рассмотрение новое математическое понятие - понятие о циркуляции вектора.

Циркуляцией некоторого вектора вдоль элементарного участка произвольной кривой называют интеграл от скалярного произведения вектора на элементарное перемещение или .

.

Используя понятие циркуляции вектора, независимость работы консервативных сил от вида траектории можно представить в виде утверждения о том, что циркуляция вектора консервативной силы на замкнутой траектории равна нулю. В силу того, что напряженность электрического поля равна консервативной силе, действующей на единичный положительный заряд, для циркуляции вектора электрической напряженности будет справедливо соотношение

.

Из приведенного соотношения следует, что циркуляция вектора электрической напряженности для любого замкнутого контура равна нулю. Данное утверждение будет справедливо тогда, когда отсутствуют магнитные поля. В присутствие магнитных полей циркуляция вектора на замкнутом контуре не равна нулю. Она определяется скоростью изменения магнитного потока, пронизывающего данный контур. Это утверждение представляет собой содержание одного из фундаментальных законов электродинамики. Его записывают в виде

. (II)

Приведенное соотношение представляет собой известный закон Фарадея об электромагнитной индукции, в соответствие с которым ЭДС, наведенная в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур.

Два других закона электродинамики касаются свойств магнитного поля и его связи с электрическим полем. Один из них утверждает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (III)

Приведенное соотношение указывает на то, что в природе не существуют магнитные заряды. Источником магнитного поля являются движущиеся электрические заряды – электрический ток. В отличие от силовых линий электрического поля, которые начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах, силовые линии магнитного поля являются замкнутыми линиями, Они нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Поэтому говорят, что магнитное поле в отличие потенциального электрического поля является соленоидальным полем.

Еще одно из уравнений электродинамики утверждает, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру зависит от величины электрического тока, и от скорости изменения потока вектора электрической напряженности, пронизывающих данный контур:

. (IV)

Представленные в международной системе единиц уравнения (I) – (IV) представляют собой фундаментальные законы классической электродинамики. С их помощью можно объяснить большой круг явлений и процессов, в которых участвуют электрически заряженные тела.

. (I)

. (II)

. (III)

. (IV)

Здесь - скорость света в вакууме.

Приведенную систему уравнений следует дополнить соотношением, характеризующим силу, действующую на электрический заряд, помещенный в электромагнитное поле

, (V)

и законом сохранения заряда изолированной системы.

В формуле (V) q – заряд, - напряженность электрического поля, - скорость заряда, - индукция магнитного поля.