Условной вероятностью называется вероятность появления события в при условии, что событие произошло; по определению

P (B| ) = .

Заметим, что все аксиомы вероятности выполнены для условной вероятности.

События и В называются независимыми, если P (B| ) = P (B| ), т.е. вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или не произошло. Значит, в таких случаях P (B| ) = P (B). Если же P (B| ) P (B| ), то события и В называются зависимыми.

Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

P ( · В) = P ( ) · P (B| ).

Если события и В независимы, то

P ( · В) = P ( ) · P (B).

Пример 3.1. СМО – аэропорт, имеющий три взлётно-посадочные полосы. Вероятности того, что в случайные моменты времени свободны: 1-я полоса равна 0,55, 2-я – 0,4, 3-я – 0,35. Найти вероятность того, что аэропорт может принять без задержки: А – три самолёта; В – два самолёта; С – один самолёт.

Решение. Обозначим через - событие, что в случайный момент времени свободная i-ая полоса (i = 1, 2, 3). Тогда, по условию,

Вероятности того, что полосы заняты, равны, соответственно

12

Для того, чтобы принять без задержки три самолёта, должны быть свободными все три полосы, поэтому событие А есть произведение

.

Учитывая независимость множителей, имеем:

Для осуществления события должны быть свободны либо две, либо три полосы. Это значит, что событие может быть представлено так:

Принимая во внимание, что слагаемые события несовместны и в каждом слагаемом множители независимы, получаем

Чтобы без задержки принять один самолёт – событие , достаточно иметь свободной хотя бы одну взлётно-посадочную полосу. Будет рациональнее сначала найти вероятность противоположного события. Ясно, что представляет собой произведение

=

Переходим к вычислению вероятностей событий и :

.

Пример 3.2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает 1-й сигнализатор равна 0,95, а что сработает 2-й – 0,9. Найти вероятность того, что в случае аварии сработает точно один сигнализатор. Найти вероятность того, что сработает хотя бы один сигнализатор.

Решение. Рассмотрим следующие события:

- при аварии сработает 1-й сигнализатор;

- сработает 2-й сигнализатор;

- сработает точно один сигнализатор;

С - сработает хотя бы один сигнализатор.

Событие означает, что в случае аварии 1-й сигнализатор сработает, а 2-й – нет, либо что 1-й не срабатывает, но срабатывает 2-й. Отсюда следует представление события в виде:

13

Слагаемые события, очевидно, несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения, получаем

Используя теперь теорему умножения для независимых событий, имеем:

По условию

Тогда

Р ( ) = 0,95 · 0,1 + 0,05 · 0,9 = 0,14.

Событие означает, что при аварии сработает либо один сигнализатор, либо сработают оба. Поэтому

Если бы вопрос стоял только о нахождении вероятности события , то более рациональным было бы найти сначала вероятность противоположного события , состоящего в том, что при аварии не сработает 1-й сигнализатор (событие ) и не сработает 2-й (событие ; поэтому и, значит,

Теперь ясно, что