- •Южно-российский государственный университет
- •Учебное пособие
- •§1. Предмет теории вероятностей. Классификация событий
- •Событие b, в свою очередь может быть представлено так:
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§2. Вероятное пространство. Аксиоматическое определение вероятности. Классическая схема
- •Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Условной вероятностью называется вероятность появления события в при условии, что событие произошло; по определению
- •Переходим к вычислению вероятностей событий и :
- •Событие означает, что при аварии сработает либо один сигнализатор, либо сработают оба. Поэтому
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Что касается , то имеет:
- •§4. Формула полной вероятности
- •Тогда полная вероятность появления события равна
- •Тогда ясно, что
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§ 5. Формулы Байеса Предположим, что событие может наступить в условиях одной из несовместимых гипотез , образующих полную группу. Пусть известны вероятности гипотез до испытания
- •Допустим, что проведено испытание, в результате которого событие появилось. Это влечёт за собой переоценку вероятностей гипотез. Вероятности гипотез после испытания определяются по формулам:
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§ 6. Схема независимых повторных испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события
- •Каждое слагаемое подсчитываем по формуле Бернулли
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§7. Случайные величины.
- •Случайная величина называется непрерывной, если функция f( ) имеет непрерывную или хотя бы кусочно-непрерывную производную. Эта производная
- •Свойства функций и :
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства dx:
- •Средним квадратическим отклонением с. В. Называется арифметический корень из дисперсии
- •§8. Нормальное распределение
- •В частности, взяв , получаем:
- •Если и достаточно большое число, то с.В. Подчиняется нормальному закону и справедливо асимптотическое1 равенство
- •Решение. Воспользуемся формулой (8.4) с
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
Задачи для самостоятельной работы
Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше пяти? (Отв.: 13/18)
Какова вероятность того, что при бросании трёх игральных костей выпадает одинаковое число очков на всех трёх костях? Какова вероятность того, что на двух костях выпадает одинаковое число очков? (1/36; 5/12)
Замок устроен так, что на одной оси вращаются три диска. Каждый диск разделён на 5 секторов, отмеченных различными буквами. Замок может быть открыт при определённой комбинации этих букв. Какова вероятность того, что замок будет открыт при первой установленной комбинации этих букв? (0,008)
На карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Какова вероятность того, что при извлечении двух карточек сумма цифр будет чётной? Какова вероятность того, что произведение цифр будет чётным? (3/7; 5/7)
Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включёнными окажутся неизношенные элементы. (0,3)
Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. (1/720)
Телефонный номер состоит из пяти цифр. Какова вероятность, что во взятом наудачу номере все пять цифр разные? (0,3024)
У сборщика 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них четыре первого, по две второго, третьего и четвёртого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего? (0,0038)
Схема освещения комнаты предполагает наличие трёх ламп. Необходимые три лампы наугад вынимают из ящика, содержащего 190 годных и 10 бракованных ламп (внешне неразличимых). Найти вероятность того, что комната будет освещена (т.е. горит хотя бы одна лампа), предполагая, что: а) лампы соединены последовательно; (0,857) б) лампы соединены параллельно; (0,9999)
В лифте семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А – все пассажиры выйдут на четвёртом этаже; (0,0046) В - все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; (0,0278) С - все пассажиры выйдут на разных этажах; (0,5556)
На 25 студентов для производственной практики представлено 10 мест в Нижний Новгород, 8–в Санкт-Петербург и 7–в Москву. Какова вероятность того, что три определённых студента попадут на практику в один город (или Нижний Новгород, или Санкт-Петербург, или Москву)? (0,092)
11
§3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Рассмотрим вероятное пространство ( ,S P).
Теорема сложения. Для любых событий , В S:
P ( + В) = P ( ) + P (В) - P ( · В)
Если, в частности, события и В несовместны, т.е. · В = Ø, то P ( · В) = 0
и из теоремы вытекает аксиома сложения:
P ( + В) = P ( ) + P (В).
Введём понятие условной вероятности.
Пусть , В S, причём P ( ) > 0.