В частности, взяв , получаем:

Ф(3)=0,9973.

Таким образом, с вероятностью 0,9973, т.е. практически достоверно, можно утверждать, что абсолютная величина отклонения значений нормально распределённой с.в. от своего среднего не превышает . Это утверждение называют правилом .

Пример 8.1. . Найти

Решение. По формуле (8.1) имеем:

Ф Ф

=Ф (2)-Ф (-2)=2Ф (2)=

Пример 8.2. На станке изготавливается деталь. Её длина представляет с.в. , распределённую по нормальному закону со средним значением а = 19,8 см. и

средним квадратическим отклонением =0.2 см. Найти вероятность того, что длина детали окажется между 19,7 см. и 20,3 см.

Решение. Вновь используем формулу (8.1):

Ф Ф = Ф (2,5)+Ф (0,5) =

=

Пример 8.3. При измерении диаметра валика микрометром случайная погрешность подчинена нормальному закону со средним отклонением 0,15 мм. Найти вероятность того, что измерение произойдёт с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 0,2 мм.

Решение. Поскольку речь идёт о случайной погрешности с.в. , то и, используя формулу (8.2), получаем:

Ф 2Ф (1,33) =

Случайная величина называется нормированной, если и

Если - с.в., имеет и , то с ней можно связать нормированную с.в. :

37

Рассмотрим с.в. - число появлений события в серии независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна , Известно, что с.в. имеет биномиальное распределение с параметрами

Составим нормированную с.в.

Интегральная теорема Лапласа

Если и достаточно большое число, то с.В. Подчиняется нормальному закону и справедливо асимптотическое1 равенство

Ф Ф , где (8.3)

Пример 8.4. Вероятность изготовления качественной детали на данном станке равна 0,85. Найти вероятность того, что из 400 деталей качественных окажется не менее 330.

Решение. По условию:

Для того чтобы воспользоваться формулой (8.3) подготовим:

Итак,

Ф (8,4) - Ф (-1,4) = Ф (8,4) + Ф (1,4) = 0,5 + 0,4192 = 0,9192.

Из формулы (8.3) получается ещё одно важное следствие: в серии независимых повторных испытаний вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности удовлетворяет соотношению:

(8.4)

38

Пример 8.5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах относительная частота попадания отклонится от вероятности не более чем на 0,02.

Решение. Воспользуемся формулой (8.4) с

Ф .

Пример 8.6. Вероятность того, что выпускаемая деталь окажется нестандартной, равна 0,05. Сколько деталей следует изготовить, чтобы с вероятностью 0,996 можно было бы утверждать, что относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности 0,05 не более чем на 0,02?

Решение. Мы вновь будем использовать формулу (8.4), но теперь искомой величиной является число испытаний . Учитывая, что

мы получаем:

Ф

По условию 2Ф

то есть Ф

В таблице функции Ф(х), стр. 41-42 находим, что вероятности 0,498 соответствует значение аргумента, равное 2,88; поэтому

откуда

и поскольку должно быть целым, заключаем, что

Вывод: для того, чтобы с вероятностью 0,996 быть уверенным в том, что относительная частота нестандартных деталей отклонится от вероятности 0,05 не более чем на 0,02, необходимо изготовить не менее 985 деталей.

39