§7. Случайные величины.

Законы распределения случайных величин

Случайными называют переменные величины, значения которых зависят от исходов испытаний.

Дискретными (д. с. в.) называются случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения.

Число этих значений может быть либо конечным, либо счётным.

Законом распределения д. с. в. называется таблица, в одной строке которой записаны всевозможные значения с. в., а в другой – соответствующие вероятности этих значений.

. . .

Х : . . .

Для конечнозначной с. в. и

Х: . . . . . .

. . . . . .

Для счётнозначной.

25

Функцией распределения с. в. называется функция F( ), определённая на всей числовой оси следующим образом:

<

Случайная величина называется непрерывной, если функция f( ) имеет непрерывную или хотя бы кусочно-непрерывную производную. Эта производная

называется плотностью распределения и имеет исключительно важное значение.

Свойства функций и :

1. 1.

2. если < ; 2.

3. 3.

4. 4.

Числовые характеристики случайных величин

Важнейшими характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием или средним значением дискретной с. в. называется сумма произведений всевозможных значений с. в. на их вероятности:

или

в зависимости от того, конечнозначной или счётнозначной является данная с. в.

Математическим ожиданием непрерывной с. в. называется интеграл

при условии, что он сходится.

26

Свойства МХ:

1.

2.

3.

4. если и - независимые с. в.

Рассеивание с. в. характеризуется либо дисперсией, либо средним квадратическим отклонением.

Дисперсия с. в. - это математическое ожидание квадрата отклонения с. в. от своего математического ожидания:

Свойства dx:

1.

2.

3.

4. для независимых с.в. и .

Средним квадратическим отклонением с. В. Называется арифметический корень из дисперсии

Биномиальным называют закон распределения д.с.в. X – количества появлений события в серии независимых повторных испытаний:

0 1 2 . . . . . .

.

. . . . . .

Здесь - вероятность появления события в каждом испытании, а Числовые характеристики биномиального распределения:

Говорят, что непрерывная случайная величина Х имеет экспоненциальное или показательное распределение, если плотность распределения имеет вид:

27

.

При этом

, ,

< 0

Пример 7.1. Пусть с.в. - количество автомобилей, подъезжающих к АЗС в случайный момент времени имеет закон распределения

0 1 2 3 4

0,1 0,2 0,4 0,15 0,15

Найти

Решение.

Составим закон распределения с.в.

0 1 4 9 16

:

0,1 0,2 0,4 0,15 0,15

и найдём её математическое ожидание:

Тогда

Пример 7.2. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения с.в. X числа отказавших элементов в одном опыте.

Найти Составить функцию распределения и построить её график.

28

Решение. С.в. принимает следующие возможные значения:

0 – не откажет ни один элемент;

1 – откажет один элемент из трёх;

2 – откажут два элемента;

3 – откажут все три элемента.

Поскольку отказы элементов происходят независимо один от другого, то для расчёта вероятностей числа отказов можно использовать формулу Бернулли, где

Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Запишем искомый биноминальный закон распределения:

0 1 2 3

Х:

0,729 0,243 0,027 0,001

( контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1)

Функция распределения с.в. рассчитывается таким образом:

Для т. к. с.в. не принимает значений меньших 0.

Далее:

Итак, функция распределения с.в. оказалась кусочно-постоянной, имеющей «ступенчатый» график (рис. 3)

29

Y

0 1 2 3 4 x

Рис. 3

Пример 7.3. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что случайно отобранная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей бракованных окажется не больше трёх.

Решение. Вероятность искомого события А можно найти, применяя теорему сложения для независимых событий:

Поскольку число велико, а вероятность появления бракованных деталей р мала, то все слагаемые, стоящие в правой части равенства, могут быть рассчитаны по формуле Пуассона:

В нашем случае и, значит,

Таким образом,

30

Пример 7.4. Время обслуживания в некоторой системе подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью 4 требования в час. Найти вероятность того, что время обслуживания окажется в интервале от 20 до 36 минут. Какова вероятность того, что требование будет обслужено в течение часа?

Решение. По условию, функция распределения времени обслуживания имеет вид:

Вероятность того, что время обслуживания T будет находиться в интервале найдём по формуле

В нашем случае, минутам часа, минутам = 0,6 часа. Значит,

Аналогично,

Пример 7.5. Случайная величина Х называется равномерно распределённой на отрезке , если плотность её распределения имеет вид:

Найти

Решение.

Тогда, а значит

31

Пример 7.6. Дана функция распределения с.в. X:

Найти:

Решение. По определению

Наконец,

Пример 7.7. С.в. задана плотностью распределения

32

Найти коэффициент

Решение. Для нахождения коэффициента воспользуемся соотношением

Имеем

и, значит,

Тогда:

=

Вероятность попадания с.в. в заданный интервал находим в виде интеграла

Задачи для самостоятельной работы

7.1. На автобазе 12 грузовиков. Вероятность выхода на линию каждого грузовика равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо, чтобы на линии было не менее 10 грузовиков. (Отв.: 0,889)

33

7.2. В цеху имеется две конвейерные линии, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в случайный момент времени свободна 1-ая линия равна 0,2, что свободна 2-ая равна 0,1. Составить закон распределения с.в. - числа свободных линий. Найти и . (Отв.: 0,3; 0,5)

7.3. На аэродроме 5 взлётно-посадочных полос. Вероятность того, что в данный момент времени каждая полоса свободна, равна 0,3. Составить закон распределения с.в. - числа свободных взлётно-посадочных полос.

( Отв.: 0 1 2 3 4 5 )

0,168 0,360 0,309 0,132 0,028 0,003

7.4. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо одно от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени равна 0,002. Найти вероятность того, что за время откажут ровно три элемента. Найти вероятность того, что откажут не более трёх элементов.

( Отв.: 0,181; 0,861)

7.5. Время обслуживания требований в СМО подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью требований в час. Найти вероятность того, что время обслуживания будет находиться в интервале от 6 до 24 минут. Какова вероятность того, что требование будет обслужено в течение часа? (Отв.: 0,455; 0,9975)

7.6. Задана плотность распределения с.в. Х:

Найти

(Отв.: )

6. Дан закон распределения д.с.в.

Х: -3 -2 1 2 4

0,3 0,2 0,1 0,3 0,1 .

Найти

(Отв.: -0,2; 6,36; 0,6)

34

6. Функция распределения с.в. задана

Найти (Отв.: )

7.9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет не более трёх бракованных изделий. (Отв.: 0,98)

7.10 Функция распределения времени обнаружения затонувшего судна имеет вид:

Найти среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна. (Отв.: ) .