§ 6. Схема независимых повторных испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события
Допустим,
что проводится серия
независимых повторных испытаний, в
каждом из которых вероятность появления
интересующего нас события
равна
< p
< 1. Тогда вероятность появления события
в этой серии точно k
раз вычисляется по формуле Бернулли:
Наивероятнейшее
число
появлений события
в серии n
испытаний определяется по такому
алгоритму:
1-й
шаг. Находим произведение
;
если оно целое, то
=
;
если
- дробь, то переходим ко второму шагу;
2-й
шаг. Находим число
-
;
если оно целое, то существуют два
наивероятнейших числа
=
-
и
+
1=
+
.
Если же - - дробь, то переходим к третьему шагу;
3-й шаг. Число находится как единственное целое, удовлетворяющее неравенству
- < < + .
Пример 6.1. СМО – железнодорожный вокзал, имеющий 5 подъездных путей. Вероятность того, что в случайный момент времени каждый из путей занят, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число занятых путей. Определить вероятность того, что хотя бы один из путей свободен в данный момент.
Решение.
Ясно, что мы имеем дело с независимыми
повторными испытаниями, где
=
5,
=
0,75,
= 0,25. Вычисляем произведение
= 5 · 0,75 = 3,75. Оно дробно. Поэтому делаем 2-й шаг – вычисляем
- = 3,75 – 0,25 = 3,5 и оно дробно; значит - это целое число, определяемое неравенствами:
- < < + ,
то
есть 3,5 <
<
4,5
=
4.
Итак, наиболее вероятно, что в случайный момент времени заняты 4 пути.
Обозначим через - событие, что хотя бы один из путей свободен.
Тогда
- означает, что все пути заняты. Поэтому
и,
значит,
23
Пример 6.2. На автобазе имеется 12 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.
Решение. Будем под испытанием понимать выбор наудачу машины. Событие - выход этой машины на линию. Ясно, что мы имеем дело с независимыми повторными испытаниями. Обозначим через - выход на линию не менее 8 автомашин. Используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим:
Каждое слагаемое подсчитываем по формуле Бернулли
(здесь
мы воспользовались равенством
Аналогично,
и
тогда
Задачи для самостоятельной работы
Батарея должна произвести 6 выстрелов по военному объекту.
Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3. Найти:
а) наивероятнейшее число попаданий в объект;
б) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.
(Отв.: = 2; 0,58).
6.2. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в момент включения равна 0,2. Найти:
а) наивероятнейшее число отказавших элементов;
б) вероятность отказа прибора, которая наступает при отказе четырёх или всех пяти элементов.
(Отв.: =1; 0,0067)
6.3. Всхожесть семян некоторого растения – 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут:
а) ровно 8;
б) не менее 8.
(Отв.: 0,2333; 0,328)
24
6.4. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание. (Отв.: 14) .
6.5. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число качественных оказалось 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь качественна, равна 0,9 (Отв.: 55).
6.6. Прибор состоит из 10 узлов. Надёжность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна p . Узлы выходят из строя независимо один то другого. Найти вероятность того, что за время t:
а) не откажет ни один узел;
в) откажет один узел;
с) откажут два узла;
d) откажут не более двух узлов.
(Отв.:
)
Вероятность возникновения опасного для прибора перегрузки в каждом
опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трёх независимых опытов, если вероятности отказа прибора при одной, двух и трёх опасных перегрузках соответственно равны 0.2, 0.5 и 0.8. (Отв.: 0.286)