Вопрос 6. Нормальный закон распределения и его измерение.

Закон: если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распредения.

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние зна­чения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близ­кие к средней величине - достаточно часто.

Нормальное распределение — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ - стандартное отклонение(σ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Свойства нормального распределения:

- Единицей измерения единичного нормального распределения является стандартное отклонение

- Кривая приближается к оси Z, по краям асимптоматически – никогда не касаясь ее.

- Кривая симметрична относительно М=0. Ее асимметрия и эксцесс равны нулю.

- Кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на расстоянии в одну сигму (нормальное распределение) от М.

- Площадь между кривой и осью Z равна 1.

Применение стандартного распределения:

1. Разработка тестовых шкал

2. Проверка нормальности выборочного распределения для принятия решения о том, в какой шкале измерен признак – в метрической или порядковой

3. Статическая проверка гипотез, в частности – при определении риска принятия неверного решения.

Вопрос 7. Статистические гипотезы и критерии.

Формулирование гипотез систематизирует предположения иссле­дователя и представляет их в четком и лаконичном виде. Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтерна­тивные, направленные и ненаправленные.

Нулевая гипотеза - это гипотеза об отсутствии различий.

Она обозначается как H_о называется нулевой потому, что содержит число 0: X₁—Х₂=0, где X₁, X₂ - сопоставляемые значения признаков.

Нулевая гипотеза - это то, что мы хо­тим опровергнуть, если перед нами стоит задача доказать значимость различий.

Альтернативная гипотеза - это гипотеза о значимости различий.

Она обозначается как Н₁. Альтернатив­ная гипотеза - это то, что мы хотим до­казать, поэтому иногда ее называют экспериментальной гипотезой.

Бывают задачи, когда мы хотим доказать как раз незначимость различий, то есть подтвердить нулевую гипотезу. Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Направленные гипотезы

H₀: X₁ не превышает Х₂

H₁: X₁ превышает Х₂

Ненаправленные гипотезы H₀; X₁ не отличается от Х₂ H₁: X₁ отличается от Х₂

Схема - классификация статистических гипотез.

Проверка гипотез осуществляется с помощью критериев стати­стической оценки различий.

Статистический критерий - это решающее правило, обеспечиваю­щее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью.

Статистические критерии обозначают также метод расчета опре­деленного числа и само это число.

Критерии делятся на параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии

Критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть средние и дисперсии (/-критерий Стьюдента, критерий F и др.)

Непараметрические критерия

Критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределе­ния и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий Q Розенбаума, критерий Т Вилкоксона и др.)

И те, и другие критерии имеют свои преимущества и недостатки. На основании нескольких руководств можно составить таблицу, позво­ляющую оценить возможности и ограничения тех и других (Рунион Р., 1982; McCall R., 1970; J.Greene, M.D'Olivera, 1989).

H₀:

H₁:

Критические значения выписываются из специальных таблиц.≤