3.2Математический аппарат
Поведение САУ в общем случае описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, при решении которых вводится ряд допущений, либо применяются различные методы линеаризации, решаемые с помощью численных методов.
Пусть некоторая система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
, (3.1)
где bi, ai – коэффициенты уравнения,
x, y – входной и выходной сигналы соответственно.
Данное уравнение является однородным уравнением с правой частью. Если коэффициенты bi, ai постоянные, то САУ является линейной, в противном случае - нелинейной. Решением данного уравнения является выражение вида:
y(t)=yсв(t)+yпр(t), (3.2)
где yсв(t) - свободная составляющая выходной координаты, которая является решением уравнения (3.1) без правой части:
, (3.3)
yпр(t) - принужденная составляющая выходной координаты, которая является частным решением уравнения (3.1) и зависит от закона изменения внешних воздействий х(t) или f(t).
Примеры математического описания различных объектов широко представлены в рекомендованной литературе.
Порядок уравнений динамики САУ зависит от сложности процессов, протекающих в нем, и от принятых допущений. Если же снизить порядок не удается, то существует прием, называемым методом разделения движения, который существенно упрощает расчет и проектирование систем управления. Если в САУ есть движения, не сопоставимые по времени протекания (медленные и быстрые процессы), то тогда систему можно разделить на две системы. Каждая из них описывают поведение САУ, но в различных масштабах времени.
Самым главным инструментом при изучении поведения САУ является преобразование Лапласа, которое переводят оригиналы функции и сигналов в их изображения.
Оператор Лапласа переводит дифференциальные уравнения из временной области в частотную. В этой области оперировать дифференциальными уравнениями проще, так как изображение всех переменных, независимо от формы и порядка дифференцирования представлены одинаково, как функции оператора «p». При этом решение сводится к решению алгебраических уравнений.
Если оригинал f(t) представляет собой функцию времени t, то изображение этой функции F(p) есть функция комплексной переменной p, задаваемой в виде следующего интеграла:
. (3.4)
Если в уравнении (3.3) заменить оператор дифференцирования на оператор Лапласа, то это уравнение можно записать таким выражением:
B(p)Y(p)=A(p)X(p), (3.5)
где A(p)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0;
B(p)=bnpn+bn-1pn-1+…+b1p+b0; (3.6)
Из уравнения (3.5):
. (3.7)
Переход от изображения Y(p) к оригиналу y(t) осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:
. (3.8)
Если знаменатель уравнения (3.8) не имеет кратных корней, то оригинал y(t) находится по известной из курса математики формуле разложения:
(3.9)
где M(p) - многочлен числителя,
N(p) - многочлен знаменателя,
N(p) - производная знаменателя,
pk -корни характеристического уравнения N(p)=0.
3.3Основные функции сау
Исследование поведения системы возможно только при изучении реакции выходных координат при подаче входных воздействий. Но бесконечное множество форм входных сигналов рождает такое же бесконечное количество выходных.
В ТАУ для изучения свойств систем применяют несколько видов, так называемых, типовых входных воздействий. По реакции выходной координаты на эти воздействия определяются все основные свойства системы. К таким сигналам относятся:
1. Единичный ступенчатый сигнал 1(t), имеющий один параметр – высота, равная единице. Математически имеет следующее выражение:
. (3.10)
График единичного ступенчатого сигнала изображен на рисунке 3.2а.
В операторной форме записи единичный ступенчатый сигнал имеет следующее выражение:
. (3.11)
2. Единичная импульсная функция (дельта функция) (t)- это сигнал бесконечно большой амплитуды, действующий на бесконечно малом отрезке времени и, имеющий площадь импульса, равную единице. Математически единичная импульсная функция записывается в виде:
(3.12)
График δ(t) представлен на рисунке 3.2б.
В операторной форме:
. (3.13)
3. Гармонический сигнал f(t), имеющий три параметра – амплитуда Am, частота и фаза :
. (3.14)
График гармонического сигнала изображен на рисунке 3.2в.
В зависимости от того, с помощью каких сигналов исследуется поведение системы, в теории автоматического управления вводятся характеристики или функции.