5.1.1Пример построения лафчх последовательно соединенных звеньев.
Дана передаточная функция:
.
Заменим передаточную функцию на произведение типовых динамических звеньев:
.
Таким образом, исходная передаточная функция может быть представлена как последовательное соединение усилительного W1, форсирующего W2 и двух апериодических звеньев W3 и W4. На рисунке 5.4 представлены ЛАФЧХ отдельных звеньев и эквивалентная ЛАФЧХ. ЛАЧХ отдельных звеньев проводится аппроксимированным методом. Для этого определяются коэффициент усиления усилительного звена, частоты сопряжения звеньев и откладываются в логарифмической системе координат:
а) усилительное звено
L1=20lg2=6,
Проводится прямая на уровне 6 децибел параллельно оси частот;
б) форсирующее звено
ωs2=1/0.006=166.7, lg(166.7)=2.22,
До частоты ωs2 проводится прямая с нулевым наклоном, после ωs2 проводится прямая с наклоном + 20 дБ/дек;
в) апериодические звенья
ωs3=1/0.001=1000, lg(1000)=3,
ωs4=1/0.0025=400, lg(166.7)=2.6.
До частот соответственно ωs3, ωs4 ЛАЧХ имеют нулевой наклон, после –наклон минус 20Дб/дек.
При построении использовались уравнение (4.13) для усилительного звена и алгоритмы построения ЛАЧХ аппроксимированным способом согласно п. 4.4.4.1 и п. 4.5.4.1. ЛФЧХ построены по уравнениям (4.61), (4.70).
Эквивалентные ЛАФЧХ строятся:
- простым алгебраическим суммированием ЛАФЧХ отдельных звеньев при одинаковых частотах. Например (рисунок 5.4):
при частоте lg=2.8 значение эквивалентной ЛАЧХ:
Lэкв=L1+L2+L3+L4=6+11+0-4=13 дБ;
при частоте lg=2.8 значение эквивалентной ЛФЧХ:
экв=1+2+3+4=0+75-32-58=-15 град.
Итоговая эквивалентная ЛАФЧХ представлена на рисунке 5.4 сплошными линиями.
- алгебраическим сложением наклонов отдельных ЛАЧХ в конкретных диапазонах частот.
Например, до частоты lg(ωs2)=2.22 все ЛАЧХ имеют нулевой наклон, следовательно, до этой частоты результирующий наклон равен нулю и ЛАЧХ проходит на уровне L1:
LЭ=L1+L2+L3+L4=L1=6.
При частоте ωs2 ЛАЧХ форсирующего звена изменила наклон на +20дБ/дек, следовательно, начиная с этой частоты результирующий наклон будет равен +20дБ/дек до той частоты, при которой произойдет изменение наклона любой из ЛАЧХ отдельных звеньев. Как видно из рисунка 5.4, при частоте ωs4 изменился наклон инерционного звена L4 с нулевого на -20 дБ/дек. После этой частоты результирующий наклон будет равен нулю, т.к. 0+20+(-20)+0=0. При частоте ωs3 изменяется наклон инерционного звена L3. Следовательно, при этой частоте наклон результирующей ЛАЧХ необходимо изменить на минус 20 дБ/дек и будет равен минусу 20 дБ/дек [0+20+(-20)+(-20)=-20].
5.2Согласно-параллельное соединение звеньев
На рисунке 5.5 представлена схема для трех согласно-параллельно соединенных звена. На входах трех звеньев действует один и тот же сигнал X(p). Сигнал на выходе будет равен:
Y(p)=Y1(p)+Y2(p)+Y3(p)=X(p)[W1(p)+W2(p)+W3(p)]. (5.117)
Таким образом, эквивалентная передаточная функция такого соединения звеньев:
Wэкв(p)=Y(p)/X(p)=W1(p)+W2(p)+W3(p)=
. 5.118)
Следовательно, при «»n согласно параллельно включенных звеньях эквивалентная передаточная функция равна:
(5.6)
. (5.119)
Амплитудно-фазочастотная характеристика имеет следующее выражение:
Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристика:
(5.7)
(5.120)
ФЧХ:
(5.8)
. (5.121)
Построение логарифмических характеристик можно произвести:
- аналитически по формулам (5.7) и (5.8),
- использованием специальных таблиц,
- упрощено аппроксимированным способом.
Рассмотрим методику и порядок построения эквивалентной ЛАФЧХ аппроксимированным способом для схемы из двух параллельно соединенных звеньев. Эквивалентная передаточная функция будет иметь вид:
;
(5.122)
Пусть в некотором диапазоне частот A1>>A2, тогда уравнение (5.9) можно записать так:
(5.123)
где Kпe jп() - комплексный коэффициент поправки,
- модуль поправки,
п() =2() - 1() - фаза поправки,
При A1>>A2 коэффициент поправки Kп<<1 и, следовательно, уравнение (5.10) можно представить в виде:
.
Логарифмическая эквивалентная амплитудно-фазочастотная характеристика в этом диапазоне частот будет равна:
Lэ()L1(); э()1().
Если в другом диапазоне частот A2>>A1, то, делая аналогичные рассуждения, можно показать, что:
Lэ()L2(); э() 2().
Максимальная погрешность замены
теоретической эквивалентной ЛАФЧХ
приходится на диапазон частот, где
A1
A2.
Если принять A1=A2,
то комплексный коэффициент поправки:
Таким образом, максимальная погрешность меньше или равна двум, а в логарифмическом масштабе Lэ будет отличаться от L1 или L2 максимум на 20lg 2=6дБ.
Следовательно, эквивалентная ЛАЧХ согласно параллельно соединенных звеньев совпадает с той ЛАЧХ, которая в данном диапазоне частот является наибольшей. Эквивалентная ФЧХ проходит по соответствующей ФЧХ для данного диапазона частот. Погрешность аппроксимации не превышает по амплитуде 6 дБ, по фазе погрешность может быть достаточно большой.