4.6Колебательное звено (апериодическое звено второго порядка)

Примерами апериодического звена второго порядка может служить:

- колебательный контур (рисунок 4.11 а). Входным сигналом является U_вх(t), выходным – напряжение на конденсаторе U_С(t):

. (4.90)

- груз, подвешенный на пружине (рисунок 4.11 б). Входным сигналом является перемещение точки подвеса x_вх(t), выходным – перемещение самого груза x_вых(t). Для тела массой m уравнения динамики имеют вид:

, (4.91)

где F – сила натяжения пружины;

F_тр – сила трения (демпфирующая сила);

k – коэффициент упругости пружины;

_тр – коэффициент трения.

- схема на операционном усилителе (рисунок 4.11 в) с двумя обратными связями. По законам Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеем:

(4.92)

В общем виде уравнение колебательного звена записывается так:

, (4.78)

где T – постоянная времени колебательного звена;

 - коэффициент затухания колебательного звена.

Апериодическое звена 2-го порядка называется колебательным, если коэффициент затухания 0<<1. В случае если 1 знаменатель можно разбить на произведение двух выражений. То есть апериодическое звено второго порядка в этом случае раскладывается на два апериодических звена первого порядка.

После преобразования Лапласа получаем:

(4.79)

4.6.1Передаточная функция

, (4.93)

Условно-графическое обозначение форсирующего звена представлено на рисунке 4.11 г.

4.6.2Переходная функция

. (4.94)

Корни характеристического уравнения колебательно звена (0<<1) равны:

p₁=0, p_2,3 = . (4.95)

Подставляя корни в формулу обратного преобразования Лапласа (3.9), получим:

(4.96)

Переходная характеристика колебательного звена представлена в таблице 4.10.

4.6.3 Амплитудно-фазочастотные характеристики колебательного звена

4.6.3.1Амплитуднофазочастотная характеристика (АФЧХ):

. (4.97)

4.6.3.2Амплитудночастотная характеристика (АЧХ):

. (4.98)

4.6.3.3Фазочастотная характеристика (ФЧХ):

. (4.99)

4.6.3.4Вещественная частотная характеристика (ВЧХ):

. (4.100)

4.6.3.5Мнимая частотная характеристика (МЧХ):

. (4.88)

Амплитудно-фазочастотные характеристики представлены в таблице 4.10.

4.6.4Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристика

4.6.4.1Логарифмическая амплитудночастотная характеристика (ЛАЧХ):

(4.81)

. (4.101)

ЛАЧХ колебательного звена можно построить аналитически по формуле и аппроксимировано.

Для построения аппроксимированным способом проанализируем поведение характеристики в двух областях частот:

- T<<1 (ω<<1/T), тогда L() – 20 lg 1=0.

- T>>1 (ω>>1/T), тогда L() – 40 lgT – прямая линия с наклоном минус 40 дБ на декаду, проходящая через частоту с координатами =1/T L(ω)=0;

- =1/T, L()= – 20 lg 2.

Алгоритм построения аппроксимированным способом аналогичен алгоритму для апериодического звена, но после частоты сопряжения наклон характеристики равен минус 40 дБ на декаду.

Максимальная погрешность построения будет при частоте сопряжения _s=1/T. Значения ЛАЧХ при этой частоте для различных значений коэффициента затухания  показаны в таблице 4.9.

Таблица 4.9 – Значения ЛАЧХ при частоте сопряжения

	0.5	0.05	1
L(), дБ	0	20	-6

Из таблицы видно, что при =0.05 будет значительное отклонение аппроксимированной ЛАЧХ от теоретической.

Таким образом, ЛАЧХ колебательного звена можно построить с помощью двух прямых, пересекаемых в точке с координатами =1/T,L(ω)=0, только при условии >0.4. В противном случае нужно строить:

- аналитически по формуле (4.90);

- используя типовые логарифмические графики, приведенные в литературе.

1. Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ):

. (4.102)

Фаза изменяется от 0 до минус 180⁰ при изменении частоты от 0 до ∞ _. При частоте сопряжения (ω_s=1/T) фаза колебательного звена равна минус 90⁰ [ .

Построение ЛФЧХ колебательного звена осуществляется только аналитически, или с помощью специальных графиков, приведенной в литературе.

Логарифмические амплитудно-фазочастотные характеристики представлены в таблице 4.12.

На рисунке 4.12 представлены временные характеристики входного и выходного синусоидальных напряжений при разных частотах. Из графиков видно, что в области малых частот (меньше частоты среза) синусоидальный входной сигнал практически не изменяется. В области высоких частот сигнал значительно ослабляется. При частоте сопряжения амплитуда резко повышается, то есть возникает явление резонанса.

Фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного изменяется от 0 до минус 180 градусов (рисунок 4.12).

Таблица 4.12 – Колебательное звено (апериодическое второго порядка)

Дифференциальное уравнение	Передаточная функция	Переходная характеристика
		Уравнение	График
АФЧХ		ЛАФЧХ
Уравнение	График	Уравнение	График