Преобразование распределений к нормальному
Пусть с использованием критериев согласия мы увидели, что нормальность распределения в нашем случае не подтверждается. Может случиться, что с помощью существующих методов можно преобразовать исходные данные так, что их распределение будет подчиняться нормальному закону.
В каком направление вести преобразования исходных данных может подсказать гистограмма и полигон исходного распределения. Так при обработки результатов наблюдений часто встречаются логарифмические нормальные распределения, особенностью которых является крутая левая ветвь. Логарифмические нормальные распределения встречаются очень часто в практике обработки наблюдений и легко преобразуются к нормальному распределению.
При
логарифмировании левая ветвь кривой
распределения сильно растягивается, и
распределение принимает приближенно
нормальный характер. Если при преобразовании
получаются значения, расположенные
между 0 и 1, то все вновь полученные
значения (для удобства расчетов и во
избежание получения отрицательных
параметров) необходимо умножить на 10 в
соответствующей степени, чтобы все
цифры были больше единицы, т.е. выполнить
преобразование
.
Рассмотрим на числовом примере, как асимметричное распределение можно преобразовать в нормальное. Пусть опытные данные представлены таблицей 6.
Таблица 6.
№ класса |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Границы классов |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
100-110 |
110-120 |
Середины классов |
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
105 |
115 |
Частоты (В) |
14 |
15 |
16 |
15 |
14 |
12 |
11 |
10 |
Продолжение таблицы 6.
-
9
10
11
12
13
14
15
120 -130
130-140
140-150
150-160
160-170
170-180
180-190
125
135
145
155
165
175
185
8
7
6
4
3
2
1
На рис. 7 приведен полигон частот для рассматриваемого числового материала. Кривая распределения имеет крутую левую ветвь и пологую правую. Уже на глаз такое распределение отличается от нормального.
C помощью критерия Пирсона показывается, что предложенное распределение не является нормальным.
Таким
образом, критерий Пирсона отвергает
нормальность рассматриваемого
распределения. Коэффициент вариации в
нашем случае
,
что является признаком логарифмического
нормального распределения.
Проведем
преобразование
и для удобства расчетов умножим результаты
на 100:
.
Полигоны экспериментальных и теоретических
частот приводятся на рис. 9.
Видно, что эти полигоны разнятся не столь значительно.
Вычисление
показателя
приводится в таблице 13.
Таблица 13.
-
10
5,83
2,98
16
11,93
1,39
19
19,23
0,003
21
24,84
0,59
20
25,69
1,26
22
20,97
0,05
17
14,08
0,61
10
7,36
0,95
3
3,12
0,005
В
нашем случае
,
уровень значимости У.з.= 0.01.
.
Следовательно,
гипотеза о нормальном распределении,
согласно критерию Пирсона, принимается.
Коэффициент вариации стал
,
что так же говорит о сближении
преобразованной СВ
с нормальным
распределением.
Таким образом, мы на примере наглядно показали, как можно преобразовать данные, не подчиняющиеся закону нормального распределения, чтобы распределение новых, преобразованных данных стало нормальным.
-
Для распределений, имеющих крутую левую
ветвь полигона и пологую правую, выполняют
преобразование столбца исходных данных
по формулам
,
или
,
или
.
-
Для распределений, смещенных вправо,
столбец СВ
исходных данных преобразуют по формуле
(
;
).
После преобразования проверяют нормальность полученного распределения по одному из критериев согласия (критерий Пирсона).
Л-6