Статистическая функция распределения

Пусть статистический ряд распределения имеет вид:

Статистической функцией распределения случайной величины Х называется частота события в данном статистическом материале: .

Если - число наблюдений, при которых Х приняло значения, меньшее х и n – общее число наблюдений, то . Очевидно

Статистическая функция распределения для рассмотренного ранее примера имеет значения , , , , , , , , , . График - ступенчатая разрывная линия. Для рассматриваемой задачи график приведен на рис. 1. Здесь .

Рис. 1

Функция приближенно характеризует истинную функцию распределения случайной величины Х. еще называют эмпирической функцией распределения, так как она находится опытным путем. В отличие от эмпирической функции распределения - функции распределения для выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между и состоит в том, что определяет для заданного значения х вероятность события Х<х, а определяет относительную частоту этого же события. Доказывается, что при достаточно большом объеме выборки . Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки служит для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности .

Полигон и гистограмма

Статистический ряд графически изображается полигоном или гистограммой. Для построения полигона частот в координатах строятся точки . Построенные точки соединяются отрезками прямой. Так, если интервальный статистический ряд имеет вид:

	4	6	16	36	24	14
	0,04	0,06	0,16	0,36	0,24	0,14

Дискретный ряд, соответствующий данному интервальному ряду:

	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5
	4	6	16	36	24	14
	0,04	0,06	0,16	0,36	0,24	0,14

Полигон для рассматриваемой задачи изображен на рис. 2.

Рис. 2

Гистограмма строится следующим образом. На оси Ох откладываются разряды . На каждом из этих отрезков как на основании строится прямоугольник площадь которого равна частоте , то есть высота прямоугольника . При этом площадь гистограммы . Для рассматриваемой задачи

гистограмма приводится на рис. 3.

Рис. 3

Если исследуемая случайная величина Х непрерывна, то при увеличении числа опытов n можно выбирать все более мелкие разряды . При этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой , ограничивающей площадь . Эта кривая представляет собой график плотности распределения случайной величины Х.

Л-2