1.3.10. Оценивание тесноты корреляционной связи

Систему экспериментальных точек в прямоугольных координатах можно приблизить (аппроксимировать) той или иной линией прямой или кривой. Мы проводили приближение системы точек заданной таблицей 21 прямой линией (14), квадратной параболой (13) и экспоненциальной зависимостью (15). Возникает вопрос: какая линия лучше описывает то или иное распределение? Что взять в качестве меры тесноты приближения системы точек к той или иной линии?

Что взять в качестве меры тесноты корреляционной связи, в случае использования метода наименьших квадратов, почти очевидно. После того, как вид аппроксимирующей функции подобран, можно при выбранном виде той или иной кривой сосчитать величины сумм квадратов отклонений. И тогда, если , то система экспериментальных точек ближе примыкает к линии , чем к линии . Общей же мерой рассеяния всех точек вокруг функции является величина , где - количество точек статистического материала, - число связей, накладываемых на статистическую выборку функцией , которое равно количеству неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение этой функции. Например, для многочленов степени k число связей .

При аппроксимировании системы точек некоторой линией, достаточно плотно прилегающей к системе экспериментальных точек, можно пойти по пути последовательного увеличения степеней аппроксимирующих полиномов. Т.е., сначала искать y в виде , потом , и далее и т.д. При этом до определенного момента дисперсия будет уменьшаться, а затем, в основном за счет уменьшения числа , станет возрастать. Степень аппроксимирующих полиномов следует увеличивать до тех пор, пока D уменьшается. Таким образом, проводя вычисления с использованием метода наименьших квадратов, мы сталкиваемся с противоречием. С одной стороны, желательно рассматривать более широкий класс функций, например многочлены с более высокой степенью. С другой стороны, такое расширение приводит к увеличению числа связей и, значит, к увеличению дисперсии D. Для того чтобы выйти из этого противоречия необходимо проводить тщательное предварительное исследование изучаемой зависимости с тем, чтобы в уравнение регрессии вошло лишь минимально необходимое число неопределенных коэффициентов. Часто удается ограничиться уравнением первой степени , накладывающим на выборку лишь две связи. В других случаях удается аппроксимировать систему точек некоторой нелинейной зависимостью, которая приводится заменой переменных к линейной зависимости и, таким образом, так же накладывает на выборку лишь две связи. В других же случаях приходится переходить к зависимостям, накладывающим на выборку большее количество связей.

П р и м е р

Оценим различные аппроксимации системы экспериментальных точек, заданной таблицей 21.

Аппроксимация прямой линией здесь дает

.

Аппроксимация параболической зависимостью имеет вид

.

Экспоненциальная зависимость имеет вид

.

Сведем вычисления в следующую таблицу 26.

Таблица 26.

№ п/п
1	1,7	25	16,740	22,934	23,111	68,244	4,268	3,568
2	3,4	34	52,832	46,826	46,201	354,644	164,510	148,864
3	4,0	57	65,571	60,940	58,997	73,462	15,555	3,990
4	4,1	82	67,694	63,590	61,451	204,661	338,928	422,260
5	5,3	98	93,171	101,710	100,202	23,319	13,764	4,850
						724,330	537,025	583,530

Теперь ,

,

.

Таким образом, и, следовательно, лучше всех кривых приближает систему экспериментальных точек экспонента , хуже всех парабола .

49