1.3.9. Нелинейная парная регрессия

В случае если связь между Y и Х не является линейной (не описывается прямой линией), что часто можно увидеть по системе расположения экспериментальных точек «на глаз», в других случаях гипотезу линейной связи можно отбросить по выполнении ряда математически действий, в этом случае есть смысл получить по экспериментальным данным нелинейную форму парной зависимости.

Формулу парной квадратичной регрессии будем искать в виде:

. (9)

Кубической регрессии:

. (10)

В случае квадратичной формы регрессии имеем

. Минимизация суммы квадратов отклонений даст:

или

(11)

Система (11) – система нормальных уравнений, из которой определяются параметры а, b и с квадратичной регрессии (9).

Для определения коэффициентов кубической парной регрессии (10) система нормальных уравнений имеет вид:

. (12)

Нетрудно составить систему нормальных уравнений для отыскания параметров зависимостей между Y и Х любого порядка. Впрочем, для отыскания параметров кубической и более высших порядков уравнений регрессий недостаточно настольных калькуляторов, и необходимо использование ЭВМ.

Рассмотрим пример отыскания параметров парной квадратичной регрессии. Пусть Y с Х связаны следующим образом (таблица 21):

Таблица 21.

Х	1,7	3,4	4,0	4,1	5,3
Y	25	34	57	82	98

Сведем вычисления в следующую таблицу 22.

Таблица 22.

№ точек	x	y	xy
1	1,7	25	42,5	2,89	72,25	4,91	8,35
2	3,4	34	115,6	11,56	393,04	39,30	133,62
3	4,0	57	228,0	16,00	912,00	64,00	256,00
4	4,1	82	336,2	16,81	1378,42	68,92	282,57
5	5,3	98	519,4	28,09	2752,12	148,88	789,06
	18,5	296	1241,7	75,35	5508,53	326,01	1469,60

Теперь система (11) примет вид

.

Решая эту систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, получаем , , . Теперь связь между Y и Х

. (13)

Уравнение прямой линии прямой регрессии для системы точек, заданных таблицей 21, имеет вид

. (14)

Иногда связь между Y и Х описывается не степенной зависимостью, а, например, с помощью формулы , или с помощью экспоненциальной зависимости , или с помощью других формул. Вид формул зависимости и нормальные уравнения, служащие для отыскания коэффициентов этих зависимостей приводятся в следующей таблице.

Таблица 23.

№	Вид формул зависимости	Нормальные уравнения
1	2	3
1.
2.
3.
4.

1	2	3
5.	или ( , , )
6.
7.	( )
8.
9.	или ( , , , )

Когда вид нелинейной зависимости между двумя переменными Х и Y известен, то часто удается с помощью преобразования одной или обеих переменных получить линейную зависимость между преобразованными переменными . Рассматриваемые случаи приведены в таблице 24.

Таблица 24.

	y		a	b
или		х
или
или		х
или				b
или		х		b
или				b
	y		a	b

П р и м е р .

Аппроксимируем систему точек, заданную таблицей 21 экспоненциальной зависимостью .

В этом случае и нормальная система уравнений, служащая для отыскания параметров a и b будет

При введении замен , , , последняя система приобретает вид:

Сведем необходимые вычислительные данные в таблицу 25.

Таблица 25.

№ точек	x	y	x
1	1,7	25	2,89	1,398	2,377
2	3,4	34	11,56	1,531	5,205
3	4,0	57	16,00	1,756	7,024
4	4,1	82	16,81	1,914	7,847
5	5,3	98	28,09	1,991	10,552
	18,5	296	73,35	8,590	33,005

Теперь последняя система имеет вид

Ее решение , , .

Окончательно аппроксимирующая экспонента

. (15)