Контрольні питання й завдання.

1. Математична постановка задачі оптимізації. Приклад.

2. Графічна інтерпритація задачі та її розв΄язок. Приклади.

3. Градієнт. Його фізичний зміст.

4. Лінії рівня.

5. Вплив параметра кроку на пошуки екстремуму.

6. Формулювання задачі оптимізації. Змістовна і математична. Приклади.

7. Вплив виду функції на процес пошуку екстремуму.

8. Чим відрізняється метод ДФП від методу Ньютона?

9. Переваги та недоліки методів першого й другого порядку.

10. Контрольні завдання:

8.1 У задачі безумовної оптимізації виконати один крок пошуку екстремуму простим градієнтним методом і обчислити значення цільової функції в знайденій точці.

а)

б)

Пошук починати з точки . Параметр кроку в алгоритмі пошуку взяти h=0,25.

8.2 У задачі безумовної оптимізації виконати один крок градієнтоного спуску і обчислити значення цільової функції

Початкові умови:

Параметр кроку: h=1.

8.3 Задача безумовної оптимізації функції має вигляд

Обчислити оптимальний параметр кроку в алгоритмі градієнтного спуску.

8.4 Задано функцію

а також дві перших точки, отриманих у процесі пошуку мінімуму функції f(u):

.

Визначте напрямок пошуку з точки , користуючись наступними методами:

а) градієнтним методом;

б) методом Ньютона.

Пошук точки екстремуму зобразити графічно.

8.5 Побудувати лінію рівня функції Обчислити та побудувати градієнт в одній із точок лінії рівня рівня.

8.6 Знайти мінімум функції .

8.7 Знайти точки стаціонарності функції і вияснити, які з них є точками максимуму.

8.8 Записати і розрахувати матрицю Гессе функції в задачі 8, 7 у точках її стаціонарності.

8.9 Виконати один цикл пошуку максимуму функції.

з початкової точки використовуючи градієнтинй метод зі сталим кроком h=1.

8.10 Побудувати лінію рівня функції.

Знайти вектор градієнта в точці.

8.11 Знайти точки стаціонарності функції.

8.12 Виконати три цикла пошуку максимуму функції.

.

із початкової точки використовуючи наступні алгоритми:

а) алгоритм градієнта з постійним кроком;

б) алгоритм покоординатного підйому.

8.13 Виконати один крок пошуку екстремуму функцій методом Коші й методом Ньютона.

а)

б)

Додаток 1

Вправи

Вправа 1. Побудувати лінію рівня.

1.1 =(u₁-2)²+4(u₂-1)²=10

1.2 =(u₁-1)²+2(u₂-4)²=32

1.3 =4(u₁-2)²+(u₂-2)²=8

1.4 =2(u₁-2)²+(u₂-1)²=8

1.5 =(u₁-2)²+2(u₂-2)²=12

1.6 j =(u₁-4)²+2(u₂-4)²=32

1.7 =(u₁-2)²+2(u₂-4)²=32

1.8 =(u₁-1)²+4(u₂-4)²=20

1.9

1.10 =2(u₁-3)²+(u₂-3)²

Обчислити й побудувати градієнт в одній із точок лінії рівня.

Вправа 2. Побудувати сімейство ліній рівня. Графічно зобразити пошук екстремуму простим градієнтним методом.

2.1 =(u₁-1)²+2(u₂-2)²

2.2 = +4(u₂-1)²

2.3 =(u₁-1)²+2

2.4 =(u₁-1)²+4(u₂-1)²

2.5 =2(u₁-1)²+(u₂-2)²

2.6 =(u₁-1)²+(u₂-4)²

2.7 =(u₁-2)²+4(u₂-1)²

2.8 =4(u₁-2)²+(u₂-1)²

2.9 =(u₁-2)²+(u₂-4)²

2.10 =(u₁-4)²+(u₂-4)²

Вправа 3. Для заданої функції виконати декілька кроків пошуку екстремуму по методу градієнта, найшвидшого спуску, Ньютона, ДФП і зобразити траєкторію руху на площині параметрів .

Вправа 4. Знайти точки стаціонарності функції і класифікувати їх.

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

Додаток 2

Завдання 1.

Виконати апроксимацію експериментальних даних лінійною залежністю по методу найменших квадратів (застосувавши пошуковий алгоритм оптимізації).

№ вар	1		2		3		4		5
№ екс	yi	ui	yi	ui	yi	ui	yi	ui	yi	ui
1	2	1	4	1	2	1	2	1	2	1
2	3	2	5	2	4	2	4	2	3	2
3	4	3	9	3	5	3	6	3	4	3
4	8	4	12	4	9	4	10	4	9	4

Завдання 2. Вибір оптимального розташування центрального вузла при прокладці трас до споживачів.

Задані координати розташування споживачів сировини або електроенергії. Потрібно вибрати координати джерела енергії або проміжної ємності для сировини, щоб сумарна довжина комунікацій була мінімальною.

Координати споживачів (u₁,u₂)

1) (2,1);(1,3);(6,2);(8,6);(4,8)

2) (3,1);(6,8);(5,8);(8,6);(4,8)

3) (4,2);(4,4);(2,3);(1,2);(6,7)

4) (1,1);(2,4);(3,1);(1,5);(2,7)

5) (2,2);(3,1);(4,2);(1,7);(2,6)

6) (5,1);(4,3);(3,2);(6,1);(4,2)

7) (1,1);(7,7);(7,1);(8,2);(4,6)

8) (2,3);(4,5);(3,1);(2,6);(2,6)

9) (2,1);(6,3);(2,3);(1,5);(2,6)

10) (4,5);(3,1);(7,1);(1,4);(2,1)

Завдання 3. Спроектувати ємність мінімальної вартості. Матеріал і об΄єм ємності задані. Запропонувати форму ємності. Штуцери для подачі і відбору рідини в ємність приварюються після її виготовлення і при розрахунку вартості до уваги не беруться.

Завдання 4. Спроектувати ємність циліндричної форми, для якої при заданому об´ємі довжина зварювальних швів мінімальна. Наявність штуцерів для подачі і відбору матеріалу, що буде зберігатись до уваги не приймається.

Додаток 3

Тестові функції.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. початкова точка (0,5;1;0,5); =0; .

9.

10.

11.

Додаток 4

1. Знайти мінімум і максимум функції

Починайте із точок (0.25; 2.5);(92.5; 2.5);(-2.5; -2.5)

2. Знайти мінімум функції.

Знайти роз΄язок системи рівнянь.

3.

4.

Знайти мінімуми й максимуми функцій.

5. .

6. .

7. .

8. .

Знайти мінімум функції.

9. .

10. .

11.

12. .

13.

14.

15.

Додаток 5