Лабораторна робота. Градієнтні методи пошуку екстремуму

Ціль роботи:

1.Вивчення градієнтних методів оптимізації функцій.

2.Набуття практичних навичок у рішенні задач оптимізації градієнтними методами.

3.Набуття навичок математичного формулювання й рішення задач оптимізації технічних об'єктів.

1. Короткі теоретичні відомості.

1.1 Лінії рівня.

Функціональну залежність від декількох змінних, кількість яких більше двох, важко зобразити графічно.

Функцію двох змінних на площині можна представити лініями рівня.

Лінією рівня функції називають геометричне місце точок, у яких функція приймає одне й теж значення.

Зображення функції за допомогою ліній рівня дає можливість наочно представити задачу оптимізації, а також траєкторії пошуку екстремуму за допомогою різних алгоритмів з метою порівняння їхньої ефективності. Сімейство ліній рівня одержуємо по рівнянню , де С- постійна величина для кожної лінії рівня.

ПРИКЛАД:

Нехай цільова функція задачі оптимізації має вигляд:

.

Задано обмеження:

.

Виконаємо графічну інтерпретацію зображення цієї задачі, в координатній площині шляхом побудови ліній постійного рівня.

Сімейство ліній постійного рівня функції представлене на рuc.l.

Рис.1.

У даному прикладі точка безумовного екстремуму має координати:

.

Умовний екстремум знаходиться в точці А.

1.2 Найпростіший градієнтний метод оптимізації функцій.

Найбільш відомим ітеративним або алгоритмічним методом оптимізації є метод градієнта. Зміст його зводиться до організації руху системи в напрямку до екстремуму кроками, причому напрямок руху збігається із градієнтом, якщо шукається максимум, і протилежний градієнту (говорять “збігається з антиградієнтом”), якщо виконується пошук мінімума.

1.2.1 Властивості градієнтів

Вектор градієнта скалярної функції визначається як вектор-стовпець перших частинних похідних функції по незалежним змінним:

.

Частинні похідні функцій обчислюються в точці .

Вводиться поняття одиничного вектора градієнта .

,

де - норма вектора градієнта.

Компоненти одиничного вектора визначаються співвідношенням :

.

Градієнт у кожній точці області визначення повністю описує поведінку функції.

Він спрямований по нормалі до поверхні рівня, проведеної через розглянуту точку, а по абсолютній величині дорівнює похідній функції по напрямку нормалі. Через те, що найшвидша зміна функції відбувається при переміщенні по нормалі до поверхні рівня, напрямок градієнта збігається з напрямком найшвидшого зростання функції. Природно, що напрямок антиградієнта збігається з напрямком найшвидшого зменшення значення функції.

ПРИКЛАД:

Дана скалярна функція двох незалежних змінних, лінії постійного рівня якої зображені на рис. 2.

Лінії рівня являють собою еліпси з координатами центра М[1,2].

Розглянемо точку А[-3,2].

Визначимо в цій точці градієнт:

Р ис. 2.

У просторі n незалежних змінних функції можна провести (n-1) взаємно перпендикулярних дотичних до гіперповерхні (поверхні) рівня.

Вісь, перпендикулярна до дотичних, буде нормаллю до поверхні рівня. Для двомірної функції в точці А можна провести одну дотичну. Це - пряма .

Градієнт буде збігатися з напрямком нормалі n₁.Його проекції рівні -8 і 0.