5.6. Одномерные неустановившиеся течения безграничной вязкой жидкости, порожденные начальным полем скоростей

Непериодические неустановившиеся течения вязкой жидкости могут порождаться движением ее границ, касательными и нормальными напряжениями, приложенными к ее границам, начальным неоднородным полем скоростей в ней и, в общем случае, совокупностью этих условий.

Наиболее простые задачи, допускающие аналитические решения, возникают в случаях одномерных безнапорных неустановившихся течений, несжимаемой жидкости, вызываемых начальными неоднородными только по одной координате условиями, изучению некоторых из которых посвящен даней раздел пособия.

Постановка задачи

Рассмотрим в декартовых координатах случай течения жидкости, вызванного начальным полем скоростей в направлении оси и зависящим только от координаты

В этом случае естественно принять, что и во все время движения течение будет совершаться в направлении оси , а скорость этого потока будет зависеть только от координаты и времени t,

а течение будет описываться решением уравнения (2.6)

при начальных условиях

и условии на бесконечности

,

Решение поставленной математической задачи дается в курсах лекций по математической физике. Однако ниже, следуя изложению этого раздела, представленного в книге [ ], предлагается вывод этой формулы, основанный на методах теории размерностей, учитывающий физику явления.

Метод тепловых источников

Построим вначале решение такой частной задачи. Положим, что только слой с координатой и толщиной обладает начальной скоростью , отличной от нуля, а остальная жидкость при этом покоится. Пусть

где конечная, или бесконечно малая величина.

Для определения формы решения воспользуемся методами теории размерностей, использующим утверждение, что любой физический закон, записанный в размерном виде, может быть представлен в безразмерном виде ( - теорема). Согласно уравнению () и начальным условиям скорость зависит от параметров q и а также переменных , что позволяет записать

При этом уравнение () и условия () –() позволяют представить последнюю формулу в таком виде

Устанавливаем в системе СИ размерности величин. входящих в последнее равенство,

[ , [ , [ , =

Теперь принимаем размерности t и за независимые и определяем безразмерные параметры и переменные . Так как размерности величин и совпадают, то можно принять

Далее определяем размерности остальных величин через размерности величин t и .. Имеем

[

Учитывая формулы () составляем равенство

из которого следует, что , . Следовательно, безразмерной величиной является

Полагаем также

[

что приводит к равенству

из которого следует

,,

Следовательно, можем принять

Теперь переписываем равенство () в безразмерных величинах

и подставляем в это равенство найденные значения величин . Получаем

Используя обозначение

равенство () записываем так

Теперь находим производные, входящие в уравнение ()

После подстановки найденных значений производных в уравнение (). имеем

Полученное дифференциальное уравнение можно проинтегрировать, если использовать интегрирующий множитель , на который надо умножить обе части полученного уравнения. Получаем уравнение

которое можно записать так

После однократного интегрирования получаем

Из ограниченности при выражения, стоящего в квадратных скобках, следует, что постоянная интегрирования должна равняться нулю ( что приводит к уравнению

Решение этого уравнения имеет вид

Теперь можно записать выражение для скорости

и найти постоянную интегрирования А из условий, наложенных на скорость. Вычислим вначале следующий интеграл

После ввода новой переменной

формула () преобразуется к виду

Следовательно, значение интеграла не зависит от времени и справедливо и при Выполняем теперь начальное условие (). Получаем равенство

из которого находим

Это дает возможность записать точное выражение для скорости жидкости, порожденной движущимся слоем жидкости

Полученное решение соответствует так называемому точечному тепловому источнику в задачах теплопроводности.

Очевидно, что в случае, когда слой находится на расстоянии от начала координат, поле скоростей, им порожденное, будет описываться формулой

где .

Общее решение задачи

Полная скорость, порожденная начальным движением всех слоев жидкости определится в виде сумы частных решений, даваемых формулой (), что следует из свойств линейности уравнения ()

Сделаем замену переменных, положив

В этом случае формула принимает вид