4.5. Пограничный слой на пластине

Теория пограничного слоя возникла в начале 20 века и находит большое практическое применение в расчете сопротивления и теплообмена при взаимодействии тел с потоками жидкости и газа в энергетике, корабле-, самолето-, ракетостроении и других разделах науки и техники. Основным инструментом для решения соответствующих задач являются численные и аналитико-численные методы в связи с существенной нелинейностью уравнений пограничного слоя.

Рассмотрим в качестве примера простейшую задачу о пограничном слое на полубесконечной твердой пластине нулевой толщины, продольно обтекаемой безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью U на бесконечности, решенную Блпзиусом в 1908 г.)

Выберем начало координат в передней кромке пластины. В теории пограничного слоя принимается, что в связи с малой толщиной пограничный слой слабо влияет на внешний поток и можно наличием пограничного слоя пренебречь при определении внешнего потока. Поэтому вязкость жидкости проявляется только в пограничном слое, в рассматриваемой задаче можно принять, что пластина не оказывает никакого влияния на внешний поток и всюду вне пластины от имеет одну и ту же скорость U.

Внешний поток описывается уравнениями Эйлера. Величина производной определяется из уравнения в проекции на ось Ox.

(4.37)

В связи с тем, что в рассматриваемом случае , (на твердой границе), (в силу постановки задачи) левая часть уравнения Эйлера равна нулю и поэтому .

Учтем также, что уравнение неразрывности для пограничного слоя

допускает введение функции тока

(4.38)

В этом случае уравнение движения жидкости в пограничном слое принимает вид

(4.39)

Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям прилипания на твердой границе погранслоя

(4.40)

Последнее условие эквивалентно равенству

(4.41)

На внешней границе погранслоя надо выполнить условия сопряжения потоков по скорости и ее производной по координате . Пусть

(4.42)

уравнение границы погранслоя, форма которой заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи. На этой границе надо выполнит условия

, (4.43)

Выполнять условия на неизвестной границе сложно Эту проблему можно существенно упростить, если снести граничные условия с границы

на бесконечно удаленную границу. Такой пограничный слой называется асимптотическим пограничным слоем. При использовании модели асимптотического погранслоя вместо условий (4.43) используются условия

, (4.44)

За толщину пограничного слоя при этом можно принять те значения координаты , при которых скорость потока в погранслое мало отличается от скорости внешнего потока, например, на 0.01.

Пусть местная толщина погранслоя. Она имеет величину , как это было установлено, порядка

(4.45)

Сделаем замену переменных, положим

(4.46)

Находим

Подставляя вычисленные производные функции в уравнение получаем уравнение

которое после упрощений принимает вид

(4.47)

Граничные условия:

, (4.48)

Полученное уравнение для функции нелинейное и целесообразно построить его численное решение. Для этого следует свести уравнение(4.47) к системе уравнений первого порядка. Вводим обозначения

При этом получаем систему уравнений первого порядка

(4.49)

Для решения этих уравнений необходимо задать начальные условия, следующие частично из условий (4.48)

Значение параметра надо подобрать так, чтобы выполнилось условие (4.48) на бесконечности. За бесконечность практически можно принять и удовлетворить условию . Вычисления удобно провести с помощью Maple-программы, приводимой ниже

>restart;

>alpha:=0.332:

>with(DEtools):

>sys := D(y1)(t)=y2(t),D(y2)(t)=y3(t),D(y3)(t)=-1/2.*y1(t)*y3(t);

DEplot([sys],[y1(t),y2(t),y3(t)],t=0..10,[[y1(0)=0,y2(0)=0,y3(0)=alpha]],

scene=[t,y2(t)],method=rkf45,stepsize=0.005,linecolor=black,thickness=1);

Как видно из полученного графика, при после точки скорость потока становится постоянной и равной , что означает выполнение граничного условия на бесконечности. Если учесть значение переменной . даваемое формулой (4.46), то границе погранслоя отвечает соотношение . Следовательно, граница погранслоя описывается уравнением

(4.50)

Основной задачей теории пограничного слоя является определение взаимодействия между потоком жидкости (газа) и телом при больших числах Рейнольдса. Определим силу трения, с которой поток жидкости действует на пластину шириной протяженностью Так как поток плоский, то это взаимодействие определяется по формуле

Напряжение трения на пластине определяется так

Учитывая, что , получаем

Силу трения обычно выражают через коэффициент трения по формуле

где – площадь поверхности тела, соприкасающегося с жидкостью. В рассматриваемом случае пластина своими двумя сторонами соприкасается с жидкостью. Поэтому и легко устанавливается значение коэффициента трения

(4.51)

где

Формула (4.51) хорошо согласуется с экспериментальными данными для гладких пластин при .

97-101   |  Алаксеева А. 104-112  |  Заярный Н.   (пока нет) 113-122  |  Клименко А. 123-129  |  Ломакин Н. 133-143  |  Маматкова П.  (пока нет) 144-150  |  Сивковская Е. 151-165  |  Федотчев О.

123 – 129. Набрать формулы в ворде – 2003.

Везде ,включая текст!

Старые не уничтожать!

123 – 129. Набрать формулы в ворде – 2003.

Везде ,включая текст!

Старые не уничтожать!